۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی

برای آن‌که فردی به مرحله‌ای از توانایی برای انجام کار پژوهشی در ریاضی برسد، لازم است در ابتدا یک ریاضی‌خوان خوب باشد. شخص باید بتواند متون ریاضی روز را به‌خوبی بخواند و بفهمد. همچنین باید درک درستی از تعریف یک مسئله جدید برای انجام کاری پژوهشی داشته باشد. به‌علاوه باید قادر باشد که یافته‌های خود را به‌خوبی بنویسد تا دیگر ریاضیدانان بتوانند به‌سادگی آنچه را او یافته‌ است بخوانند. آنچه در این مقاله از سایت اپسیلون علم  می‌آوریم ۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی و رسیدن به چنین مرحله‌ای از توانایی برای یک فرد است.

 

 

 

 

گام اول: دلیل و استدلال آوردن

رأس می­‌گوید:” اساس ریاضیات استدلال است و اگر توانایی استدلال در دانش‌­آموزان رشد نکرده باشد، ریاضیات برای او به مجموعه‌ه­ایی از رویه­‌ها و مثال­‌های تکراری فاقد این‌که چرا چنین هستند، تبدیل می‌شود

رضایی می‌گوید: “اثبات، گفتمان ریاضی است” یعنی چیزی که ما به‌عنوان ادبیات ریاضی با فرهنگ ریاضی می­‌شناسیم. در استانداردهای NCTM، از اثبات به‌عنوان “یک روش رسمی برای بیان انواع خاصی از استدلال‌­ها و قضاوت‌ها” یادشده که از استدلال­‌های ریاضی، اثبات رسمی بنویسند و ارزش چنین بحث­‌هایی را حس کنند. درواقع باید حساسیت ریاضی شاگردان را هر چه زودتر تقویت کرد. لازم است پیش از آنکه از دانش‌­آموزان بخواهیم که اثبات بنویسند، توانایی ریاضی آن‌ها توسعه‌یافته باشد.

توانایی استدلال شفاهی و قضاوت کردن درباره­‌ی قابل‌قبول بودن یک مفهوم، یا اینکه چرا یک رویّه باید مورداستفاده قرار بگیرد و نیز توانایی نقد این‌ها، قدم اول راه است و اگر دانش‌­آموزی این مهارت‌ها را نداشته باشد، در اثبات نیز موفق نخواهد بود. مهارت‌های استدلال و قضاوت کردن، دانش­‌آموزان را به فعالیت‌های روزانه ریاضیاتی‌شان پیوند می­دهد.

استانداردهای NCTM می‌گوید: “استدلال و اثبات، باید به‌عنوان بخشی از تجربه‌ه­ای ریاضی دانش­‌آموزان از پیش از دبستان تا پایه­‌ی دوازدهم و به‌صورت یک عادت ذهنی، مانند دیگر عاداتشان درآید، تا در بسیاری از زمینه­‌های دیگر نیز بتوانند آن‌ها را توسعه داده و از آن بهره بگیرند.

” مانسی” معتقد است که در سطح ابتدایی، دانش­ آموزان باید در موقعیت‌هایی که آن‌ها را قادر به ساختن و اصلاح کردن و آزمودن حدس‌هایشان می­سازد، قرار بگیرند و این موقعیت‌ها باید تا دبیرستان که دانش ­آموزان نیاز به دانستن این دارند که چگونه ایده ­های خود را به زبان ریاضیاتی و نمادین بیان کنند، ادامه یابد. آن‌ها باید یاد بگیرند که مثال­‌های خود را توسعه بدهند و بتوانند استدلال‌های خود را در گروه به‌خوبی بیان کنند. در دبیرستان باید بتوانند بحث‌­های خود را شفاف­‌تر مطرح کنند و آن‌هارا به‌طور رسمی بنویسند. معلم و دانش‌­آموزان باید عادت کنند که بپرسند”چرا؟ ” چراکه این سؤال نقادانه برای توسعه‌ی مهارت‌های استدلال ریاضی دانش ­آموزان الزامی است.

بسیاری از محققان معتقدند به کمک مهارت­‌های هندسی به‌خوبی می­‌توان توانایی استدلال دانش­ آموزان را سنجید و اصولاً ناتوانی استدلالی آن‌ها اغلب در این درس حس می­‌شود.

 

 

 

 

گام دوم: روش‌های استدلال کردن

در ریاضیات روش‌های استدلالی فراوانی بکار می­‌رود برخی از انواع آن به شرح زیر است:

 

• روش شهودی:
  این روش به درک شهودی و احساس وابسته بوده و استدلال در آن، متکی به حواس و غرایز افراد است. ازاین‌رو ممکن است اشخاص متفاوت، روش‌های مختلفی برای آن داشته باشند.

 

•  روش استقرایی:
  استدلالی است که در آن از احکام جزئی و حالت­‌های خاص، احکام کلی را استنباط می­‌کنند.

 

• روش تمثیل:
  که در حقیقت پیدا کردن نوعی مشابهت میان مفاهیم گوناگون است و می­‌توان در ایجاد زمینه‌­های شهودی برای درک پدیده­‌های ریاضی، مؤثر واقع شود.

 

 

 

 

 گام سوم: تعریف یک مفهوم

تعریف یک اصطلاح عبارت از بیان کردن معنی آن با الفاظ و اصطلاحات دیگری است که بنا به فرض آن‌ها را خوب می‌­شناسیم.حال می­‌خواهیم دو اصطلاح “تعریف مفهوم” و “تصور مفهوم” و ارتباط بین آن‌ها را دریابیم.

ما از اصطلاح “تصور مفهوم” برای توصیف ساختار شناختی کلی­‌ای که با یک مفهوم در پیوند است استفاده می­‌کنیم که تمامی تصاویر ذهنی و ویژگی‌ها و فرایندهای مرتبط با آن مفهوم را در برمی­‌گیرد. تصور مفهوم به‌مرورزمان و در جریان مواجه‌شدن با انواع تجارب شکل می­‌گیرد و تحت تأثیر محرکه‌ای جدید تغییر و رشد می­‌یابد و در‌واقع محرک­‌های متفاوت می­‌توانند به فعال شدن بخش­‌های متفاوتی از تصور مفهوم منجر شوند.

به همین دلیل ممکن است در زمان­‌های متفاوت، دیدگاه‌­های ناسازگاری در ذهن فرد به وجود بیاید که تا زمانی که آن‌ها به‌طور هم‌زمان فراخوانده شوند وی از این ناسازگاری‌­ها آگاه نیست.

تعریف مفهوم مطلب دیگری است. “تعریف مفهوم” عبارتی است که برای مشخص کردن آن مفهوم مورداستفاده قرار می‌­گیرد.

این تمایز واضح، زمانی آشکار می­‌شود که پیچیدگی شناختی مفهوم قدرتمندی مانند تابع مورد تحلیل قرار می‌گیرد. تعریف مفهوم یک تابع ممکن است این‌طور باشد که “یک رابطه بین دو مجموعه­ی A ،B که در آن هر عضو A تنها با یک عضو  مرتبط می­‌شود”. اما برخورد با این مفهوم، جنبه‌­های دیگری را نیز در برمی­‌گیرد. برای مثال، ممکن است یک تابع به‌عنوان یک عمل که برای هر عنصر‌ x درA  یک عنصر (f(x را در B تعیین می­‌کند. یا به‌عنوان یک نمودار، یا به‌عنوان یک جدول مقادیر در نظر گرفته شود.

تجربیات و برخوردهای فرد در یک زمینه‌­ی خاص، ممکن است باعث شود تصوری که او از یک تابع ساخته است به‌گونه‌ای باشد که وی، تابع را همواره به‌عنوان یک فرمول و یا شاید بیشتر از یک فرمول و یا تعداد متناهی فرمول در بخش‌های مختلف در نظر بگیرد.

ازنظر تال معقول نیست که انتظار داشته باشیم که دانش‌­آموزان به‌طور کاملاً منطقی، از تعاریف مفهوم صحبت کنند، بدون اینکه تصورات مفهوم خود را دخالت دهند. او ادعا می‌کند که؛

۱)برای دست ورزی با مفاهیم، فرد نیاز به یک تصور مفهوم دارد نه یک تعریف مفهوم.

۲)تعاریف مفهوم (زمانی که مفهوم توسط یک تعریف بیان‌شده باشد.) غیرفعال خواهد ماند و حتی ممکن است به فراموشی سپرده شوند. اما در فرایند فکر کردن، این تصور مفهوم است که همیشه فراخوانده می‌شود.

 

 

 

تال(۱۹۸۸) اظهار می‌دارد که با چنین ادعایی، ممکن است این سؤال مطرح شود که”چطور در بین انواع مختلفی از تصورات مفهوم یک روش مشخص می‌­توان ارائه کرد که باعث رشد و پیشرفت یادگیری و یاددهی ریاضیات شود؟” وی در پاسخ بیان می­دارد که تنوع تصورات مفهوم در فرد، نشان می‌­دهد که پیش بردن دانش ریاضی به یک روش رسمی، به‌سادگی امکان‌پذیر نیست و جایگزین این روش، فرصت دادن به دانش­‌آموزان برای پیدا کردن تجربیات غنی‌­تر است بطوریکه آن‌ها را قادر کند تصورات منسجم‌­تری را از یک مفهوم تشکیل دهند.

ازنظر تال، این کار به‌سادگی قابل انجام نیست و دربرگیرنده‌ی ایجاد تعادل بین انواعی مثا‌‌‌ل­‌ها و نامثال‌ها است که هر دو، لازمه­‌ی ایجاد تصور منسجمی از یک مفهوم است.

تمام مفاهیم ریاضی به‌جز مفاهیم اولیه­‌، دارای تعریف رسمی هستند که بسیاری از آن‌ها یک یا چند بار به دانش‌­آموزان معرفی می­‌شوند. درحالی‌که معمولاً دانش‌­آموزان برای تشخیص اشیای ریاضی موردبحث به‌عنوان یک مثال یا نامثال از آن مفهوم، عملاً تعریف را استفاده نمی‌­کنند و در بسیاری از موارد، بر مبنای یک تصور مفهوم، تصمیم می‌­گیرند. آن‌ها همچنین اظهار می­‌دارند: “تصور مفهوم “دانش‌­آموز از یک مفهوم، حاصل تجربه­‌ی وی با مثال­‌ها و نامثال‌هایی از آن مفهوم است. درنتیجه مجموعه­‌ی اشیای ریاضی که توسط دانش­‌آموز به‌عنوان‌مثال‌هایی از مفهوم در نظر گرفته می­‌شود، الزاماً همان مجموعه­‌ی اشیاء ریاضی که توسط تعریف ،معین می­‌شود، نیست.

اگر این دو مجموعه یکسان نباشد، ممکن است رفتار(ذهنی) دانش­‌آموز با آنچه معلم انتظار دارد، فرق داشته باشد، به‌منظور ایجاد ارتباط بین این دو مجموعه، لازم است بدانیم که چرا این یکسانی وجود ندارد. درنتیجه، برای رفع این مشکل بایستی به دنبال چرایی چنین اتفاقاتی برویم. درواقع باید مثال­‌ها و نامثال‌­های مفاهیم را طوری سازمان‌دهی کنیم که تصورات مفهوم دانش­‌آموزان به سمت تعریف مفهوم نزدیک و نزدیک­‌تر شود.

به اعتقاد وینر، در اهمیت بررسی تصورات و تعاریف مفهوم می­‌توان به این نکته اشاره کرد که گاهی اوقات، وقتی از دانش­‌آموزان خواسته می‌­شود به توضیح مفاهیم ساده­‌ای مانند زاویه­‌ی قائمه، محور مختصات، ارتفاع در مثلث و مشابه آن بپردازند، اغلب این مفاهیم اولیه­‌ را نمی­‌شناسند یا تصورات نادرستی از آن‌ها دارند. این تصورات ممکن است نتیجه­‌ی برخورد یادگیرنده­‌ها با مجموعه­‌ی خاصی از مثال­‌ها باشد که در آموزش ریاضی مدرسه­‌ای به آن‌ها ارائه‌شده است. بدین‌جهت، به‌جای ایجاد تصورات صحیح و غنی از آن مفهوم، برای آن‌ها در حد یک تمثیل باقی‌مانده است.

 

 

مثال
کره معمولاً به‌صورت مکان هندسی نقاطی که از نقطه مفروض فاصله‌­های برابر با یکدیگر داشته باشند تعریف می‌شود. ولی می‌­توانیم کره را چون سطح حاصل‌شده از دوران یک دایره برگرد یکی از قطرهایش تعریف‌کنیم. کره تعریف­‌های شناخته‌شده دیگری هم دارد، و جز این‌ها نیز می­‌توان تعریف­‌های تازه‌­ای برای آن یافت. هنگامی‌که مسئله طرح‌شده‌ای را که متضمن مفهوم مشتق شده”کره” است را حل کنیم و می­‌خواهیم به تعریف آن بازگردیم، لازم است از میان چند تعریف یکی را برگزینیم، در چنین حالتی اینکه کدام تعریف را برگزینیم حائز اهمیت است.

بازگشت به تعاریف، عمل مهمی از فکر و ذهن است. اگر بخواهیم بدانیم که چرا تعریف­‌های کلمات این اندازه اهمیت دارند، باید نخست این مطلب بر ما محقق شود که کلمات حائز اهمیت است. نمی­‌توانیم فکر و ذهن خود را بدون کلمات یا علامات و یا نمادها بکار اندازیم. بنابراین کلمات و علامات قدرت دارند.

 

 

مثال(تعریف مفهوم).سری را همگرا گویند هرگاه:

۱)حد جمله عمومی آن برابر صفر باشد.                                     ۲)مقدار سری برابر صفر باشد.

۳)دنباله مجموع جزئی سری دارای حد باشد.                             ۴)جمله عمومی سری برابر صفر باشد

 

 

مثال. کدام‌یک از گزاره‌­های زیر درست است:

۱)اگر حد جمله عمومی سری برابر صفر باشد، سری همگراست.

۲)اگر سری همگرا باشد، حد جمله عمومی آن برابر صفر است.

۳)اگر حد جمله عمومی سری مخالف صفر باشد، ممکن است سری همگرا باشد.

۴)اگر سری واگرا باشد، حد جمله عمومی آن مخالف صفر است.

 

مثال. کدام‌یک از گزاره‌های زیر درست است.

۱) اگر g+f در a پیوسته باشد، آنگاه توابع g,f در a پیوسته است.

۲) اگر  f.g در a پیوسته باشد، آنگاه توابع  g,f در a پیوسته است.

۳) اگر g,f در a ناپیوسته باشد، آنگاه f+g در a ناپیوسته است.

۴) اگر f در a پیوسته و g در a ناپیوسته باشد، آنگاه f+g  در a ناپیوسته است.

 

 

گام چهارم آوردن نمونه‌­ای از مسائل ریاضی که توانسته درکی از سؤال داشته باشد:

دانش‌­آموزی که به‌خوبی مفهوم متغیر، روش معادله نویسی را یاد گرفته است با تفسیر و استدلال درست سؤال زیر می‌­تواند سؤالاتی مشابه اما پیچیده‌­تر از مسئله اول را بیان کند.

 

سؤال۱.پدری برای سه پسر خود، ۱۶۰۰ تومان باقی گذاشت.در وصیت‌نامه تأکید شده بود که پسر بزرگ‌تر ۲۰۰ تومان بیشتر از پسر دوم و پسر دوم، ۱۰۰ تومان بیشتر از پسر کوچک‌تر بردارد. حال سهم هر یک از پسرها را پیدا کنید.

 

سؤال۲ .  پدری برای چهار پسر خود، ارث‌ه­ای نقدی باقی گذاشت و سهم آن‌ها را بدین ترتیب تعیین کرد:

اولی:به‌اندازه نصف همه پول منهای ۳۰۰۰ تومان.

دومی:یک‌سوم همه­‌ی پول، منهای ۱۰۰۰ تومان.

سومی:یک‌چهارم تمام پول.

چهارمی:۶۰۰ تومان به‌اضافه یک‌پنجم تمامی پول.

-مبلغ ارثیه­‌ی و سهم هر یک از پسرها را پیدا کنید.

 

سؤال۳. پدری بعد از مرگ، چند فرزند از خود باقی گذاشت و در وصیت‌نامه خود، سهم آن‌ها را این‌طور تعیین کرد:

اولی:۱۰۰ تومان به‌اضافه‌ی یک‌دهم بقیه پول

دومی:۲۰۰ تومان به‌اضافه‌ی یک‌دهم بقیه­‌ی بعدی پول

سومی:۳۰۰ تومان به‌اضافه‌ی یک‌دهم بقیه پول بعدی

چهارمی:۴۰۰ تومان به‌اضافه‌ی یک‌دهم بقیه­‌ی  بعدی پول و غیره.

بعد از اجرای وصیت‌نامه معلوم شد، به همه‌­ی فرزندان به مقدار مساوی پول رسیده است. می‌­خواهیم مبلغ ارثیه و سهم هر فرزند را پیدا کنید.

 

سؤال۴. سه نفر باهم بازی می­‌کنند. در بازی نخست، اولی به هرکدام از دو نفر به‌اندازه پولی که در اختیار داشتند، باخت. در بازی دوم، دومی به‌اندازه دو برابر پولی که هرکدام از دو نفر دیگر در آن موقع داشتند، باخت و بالاخره در بازی سوم، اولی و دومی به‌اندازه پولی که داشتند از سومی بردند. بعد از پایان سه بازی، معلوم شد که هر یک از آن‌ها،۲۳۰۰ تومان دارند. می­خواهیم پول هر یک را قبل از بازی، پیدا کنیم.

 

(نمونه‌ای از مسائل درصد):

 

• در یک هواپیما که دو‌سوم پر بود، ۲۰% مسافران پسر، یک‌چهارم  مسافران زن، یک‌هشتم مسافران دختر، ۶۸ نفر از آن‌ها مرد بودند، در این هواپیما چند صندلی وجود دارد.
•  قیمت فروش یک میزتحریر با ۲۲.۵% سود فروشنده،۱۵۵۴۰ تومان بود. چه مقدار از این مبلغ، هزینه‌­ی تولید میزتحریر و چه مقدار آن سود فروشنده است.
•  نرگس یک جفت دستکش را با ۳۰% تخفیف به قیمت ۲۴۰۱ تومان خرید. قیمت دستکش قبل از تخفیف چقدر بوده است.
• کلاس ترم اول آقای هاشمی ۴۰ نفر دانش‌­آموز داشت. در امتحان پایان‌ترم، میانگین پاسخ‌­های صحیح دانش آموزان ۹۶% بود. در کلاس ترم دو ۲۰ دانش‌­آموز شرکت داشتند. میانگین پاسخ‌­های صحیح این دانش آموزان به پرسش­‌های امتحان‌ترم قبل ۹۰% بود. میانگین پاسخ­‌های صحیح دانش‌­آموزان در هر دو ترم چند درصد بوده است.

 

 

(درک از سؤال و بازسازی سؤالاتی مرتبط با آن)

با استفاده از ارقام ۱,۲,۳,۴ و اعمال اصلی حساب هر یک از اعداد ۱ تا ۲۵ را به‌صورت زیر نشان دهید.

۲×۳-(۱+۴)=۱.

_ اگر شما اصول جذر و توان و فاکتورگیری را بکار گیرید، آیا می­‌توانید همه‌­ی اعداد صحیح ۱ تا ۱۰۰ را ایجاد کرد.

_ اولین عدد طبیعی که قابل اشتقاق گرفتن نیست، چیست؟

_ اولین عددی را که نمی‌­توان با به‌کارگیری اعداد حسابی به دست آورد، کدام است.

 

 

(درک از سؤال و بازسازی سؤالاتی مرتبط با آن)

اعداد ۴۱,۳۲,۸۳ اعدادی هستند که رقم اولشان بزرگ‌تر از رقم دوم آن‌هاست. چه تعداد اعداد دورقمی وجود دارد که دارای این ویژگی­‌اند.

_ چه تعداد اعداد سه‌رقمی وجود دارد که رقم اولشان بزرگ‌تر از ارقام دوم و سوم است؟

_ آیا می­‌توانید تعمیمی برای اعداد n-رقمی بیابید.

_ اعداد سه‌رقمی که رقم اولشان از مجموع ارقام دوم و سوم بزرگ‌تر باشد، را بیان کنید.

 

 

 

 

گام پنجم ریاضی خواندن را یاد بگیرند:

قبل از این‌که شما تصمیم به حل مسائل ریاضی بگیرید، مهم است که شما به‌طور دقیق فصل مربوطه به کتاب ریاضی خود را بخوانید. مثال‌ها را مطالعه کنید، تعاریف را یادداشت‌برداری کنید، مثال‌­ها را مطالعه کنید، تذکرات نویسنده را یادداشت کنید و مثال­‌ها را مطالعه کنید!

 

 

چطور کتاب درسی ریاضی خود را بخوانید: (هویس، ۲۰۰۸)

۱-به موضوع فصل نگاه کنید و اهداف یادگیری در شروع فصل را توصیف کنید.

۲-به‌طور سطحی فصل را مطالعه کنید.

۳-با مداد سؤالات و گام­‌های نامفهوم از مثال­‌های حل‌شده را علامت بزنید.

۴-همه‌­ی تمرکزتان را روی مطالعه قرار دهید.

۵-وقتی شما به مثال‌­ها می­‌رسید، هر گام را انجام دهید(بحث کنید) و بفهمید.

۶-مفاهیم و کلماتی را که شما نمی­‌فهمید، علامت بزنید:

• یک لیستی از آن قسمت‌هایی را که باعث اشتباهات(گیجی) شما می‌­شوند را تهیه کنید.
• کلمات مجهول را در فرهنگ لغت ریاضی جستجو کنید.
• مفاهیم مجهول را از معلمتان بپرسید.

 

۷-لیستی از مفاهیم مهم را تهیه کنید:

• روی ورقه­‌های جدا از هم، لیستی از تعاریف، تئوری‌ها و فرمول‌ها داشته باشید.
• هر وقت که شما یک‌فصل از کتاب ریاضی­تان را خواندید، به این لیست چیزهای جدیدی اضافه کنید.
•  روزانه این فهرست‌ها را مرور کنید.

 

۸-اگر شما اصول موردمطالعه را نفهمیدید، نکات زیر را دنبال کنید تا اینکه موضوع را درک کنید:

• به صفحات قبلی برگردید و اطلاعاتی را که برایتان گنگ بود را دوباره بخوانید.
• به جلو بروید و صفحات بعدی را بخوانید تا به آنجایی که نویسنده راهنمایی کرده است برسید.
• همه شکل­‌های هندسی، نمودارها و جدول­‌ها و مثال­‌ها بکار رفته برای شرح بیشتر مفاهیم را مطالعه کنید.
• پاراگراف­‌هایی را که نمی­‌فهمید با صدای بلند دوباره بخوانید تا اندام‌­های حسی­‌تان نیز درگیر شود.‌
• به یادداشت­‌هایی که از سر کلاس از همان مورد برداشته­‌اید رجوع کنید.
• به کتاب ریاضی دیگری رجوع کنید. شما می­‌توانید توضیحات (تفسیرهای) و یا مثال‌هایی پیدا کنید که درک بیشتری به شما بدهد.
• از نوارهای دیداری، سی‌­دی‌ها و منابع وب سایت‌ها استفاده کنید تا به درک شما کمک کند.
• آنچه را که به‌درستی نفهمیدید را مشخص کنید و از معلم و همکلاسی‌تان بپرسید.

 

 

استراتژی KWL: (هوبس، ۲۰۰۸)

آنچه را که پیش‌ازاین یاد گرفته­اند: K

آنچه را که می­‌خواهیم پیدا کنیم(کشف کنیم) :W

آنچه را که ما از خواندن آن یاد گرفته­‌ایم: L

 

 

 

نکاتی قبل از ریاضی خواندن:

• تعیین کنید که چه موضوع خاصی هست که قصد دارید درباره­‌اش مطالعه کنید. در یک کتاب ریاضی، اهداف معمولاً در ابتدای هر فصل شرح داده‌شده است.‌
• ۵ تا ۹ چیزی را که شما قبلاً درباره این موضوع خاص یاد گرفته‌اید، را یادداشت کنید.
• ۵ تا ۹ سؤال درباره آنچه شما می­‌خواهید درباره این موضوع از فصل موردمطالعه یاد بگیرید، را یادداشت کنید.

 

 

نکاتی بعد از مطالعه:

• ۵ تا ۹ اندیشه­‌ی که شما از خواندن فصل یاد گرفته­‌اید را بنویسید.
• در جملات خودتان، توصیف کنید که شما چه اندازه یاد گرفته‌­اید.
• لیستی از منابعی که زمان انجام تمرین­‌های منزل و بررسی مثال­‌ها از آن‌ها استفاده کردید را تهیه کنید.
• لیستی از تعاریف، خواص، فرمول­‌ها و تئوری‌ها را تهیه کنید.
• مقایسه کنید که چه اندازه شما یاد گرفته­ اید، چه اندازه می­‌دانستید و چه اندازه می­‌خواهید یاد بگیرید.

 

 

 

 

گام ششم ریاضی نوشتن:

ریاضی نوشتن همچون ترجمه کردن از یک‌زبان به زبان دیگر است. نوشتن و آراستن معادلات به معنی بیان کردن شرطی که با کلمات بیان‌شده‌اند از راه نمایش دادن آن با علامت‌ها و نمادهای(رمزها) ریاضی است. در هنگام بیان کردن شرطی که در صورت‌مسئله با کلمات آمده به‌وسیله نمادهای ریاضی نیز وضعی که پیش می­‌آید با وضع ترجمه بسیار شبیه است. نخست باید کاملاً شرط را فهمیده باشیم، دوم باید با صورت‌­های بیان ریاضی آشنا باشیم.

خوب نوشتن ریاضی انعکاسی از ذهن است. چیزی که  فرد می­‌نویسد، تصویر ذهن اوست، درست مثل شکلی که درون آیینه افتاده باشد. هر فرد با نوشته­‌هایش درون ذهن خود را به دیگران نشان می‌­دهد و هر چه زیبا­­تر بنویسد تأثیرگذارتر است. باید ریاضی را زیاد بنویسد تا در نوشتن تبحر پیدا کند و آن زمان است که می­‌تواند در ریاضیات کار بزرگی انجام دهد و به دیگران هم آن‌ها را یاددهد.

مسائل سخت ریاضی توسط ریاضیدا­­ن­‌های بزرگ هنگامی حل می­‌شود که روی کاغذ آورده می­‌شود و هیچ‌وقت نمی­‌توان همه عملیات و استدلال‌­های لازم را در ذهن پیگیری کرد و نوشتن است که دست را روان می‌کند.

 

 

 

 

گام هفتم تجربه­‌ای برای اینکه خودش ریاضی را بنویسد:

یعنی دانش‌­آموز خود، ارتباط بین مفاهیم و مطالب ریاضی را یافته و درصدد کشف یک ایده جدید، الگو­یابی و بالا بردن مهارت­‌های تعمیم خود باشد.

یکی از روش‌های اساسی پیدایش ایده­‌های ریاضی، تعمیم دادن است و ریاضیدان همگی از این روش استفاده می­‌کنند، تعمیم دادن یعنی از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی­‌تر رسیدن.(تابش، رستگار، حاجی بابایی، ۱۳۸۸)

 

مثال. آیا برای اعداد حقیقی دلخواه a_۱,a_۲,b_۱,b_۲ نابرابریa_۱^۲+a_۲^۲×√b_۱^۲+b_۲^۲√ a_۱b_۱-a_۲-b_۲≤ برقراراست؟ آیا در این صورت نابرابری تعمیم پیدا می­کند؟

تعمیم دادن یکی از مهارت­های تفکر ریاضی است. مهم­ترین راه دستیابی به این مهارت، این است که دانش‌آموز خود مستقلاً دست بکار شود و عملیات را انجام دهد. تلاش فکری شما بسیار مهم‌تر از نتیجه نهایی است.

 

مثال.(کشف یک ایده و الگویابی).

الف-عدد طبیعی n=2^K را در نظر بگیرید، چند مقسوم‌علیه دارد؟۱=n را هم به‌حساب آورید. آیا الگویی وجود دارد.

ب- عدد طبیعی n=10^k را در نظر بگیرید. چند مقسوم‌علیه دارد؟۱=n را هم بشمارید.آیا الگویی وجود دارد. آیا با عامل‌های اول مربوط است.

_ بر اساس الف و ب، درباره تعداد مقسوم‌علیه‌های یک عدد حدسی بزنید. برای عدد طبیعی و دلخواه n می‌توانید در حالت کلی استدلالی برای تعداد مقسوم‌علیه‌های آن بیاورید.

 

 

 

مثال(کشف یک ایده و الگویابی).

۱۰ منحنی روی یک صفحه طوری رسم شده‌­اند که هر خط منحنی هر یک از خط­‌های دیگر را دقیقاً در دونقطه قطع می­کند. درمجموع چند نقطه­‌ی تقاطع به دست می­‌آید. چند ناحیه توسط این خط‌های منحنی در صفحه پدید می­ آید. در حالت n خط چطور؟ آیا الگویی می‌­توان یافت.

 

 

 

 

 

مثال(کشف یک ایده و الگویابی).

مثلث یک‌چند ضلعی با سه یال است و چهارضلعی، چندضلعی‌ای است که چهار یال دارد و یک n ضلعی، nضلعی‌ای با n یال است، یکی از راه­‌های دسته‌بندی چند وجهی‌ها، شمارش تعداد وجه آن‌هاست. مثلاً، یک مکعب مربع، شش وجه دارد و گاهی نیز شش‌­وجهی خوانده می­‌شود. می­‌دانیم برای هر n>2 یک‌چند ضلعی با n ضلع وجود دارد؛ یک n ضلعی. آیا چیزی به‌نام هفت‌وجهی وجود دارد؟ یعنی یک چند­وجهی که دقیقاً هفت وجه داشته باشد، برای کدام n، یک n وجهی وجود دارد.

 

 

گام هشتم یافتن یک موضوع علمی_پژوهشی:

در ریاضیات، دانستن یعنی انجام دادن، بنابراین روش یادگیری ریاضی متکی بر انجام دادن توسط دانش‌­آموز است. یادگیری ریاضی مثل یادگیری شنا است هرچقدر درباره­‌ی شنا کردن مطالعه کنید، شناگر نمی­‌شوید. باید دست به عمل بزنید و وارد آب شوید.

 

صرفاً با خواندن کارهای ریاضی دیگران نمی‌­توان کار نو در ریاضی انجام داد، خلاقیت و کشف باید در قلب آموزش ریاضیات باشد و از مدرسه شروع شود. هدف از کار پژوهشی ریاضی در مدرسه، تحقیق در مرزهای ریاضی نیست، بلکه حل هر مسئله نابدیهی به‌وسیله یک دانش‌­آموز، یک کار نو است. حل یک یا چند مسئله نابدیهی مرتبط باهم، مدل‌سازی یک پدیده به زبان ریاضی و بررسی ویژگی­‌های آن به کمک ریاضی، نمونه­‌های کار پژوهشی در ریاضیات است.

 

مثال. مثلثی با ضلع‌هایی به طول ۳،۴،۵ قائم‌الزاویه است. مثلثی با ضلع‌­های به طول ۵،۱۲،۱۳ نیز قائم‌الزاویه است. مشاهده می‌­شود که وترهای این دو مثلث عددهایی اول هستند؛ آیا مثلث­‌های قائم الزوایه­‌ی دیگری از این نوع وجود دارند. تحقیق کنید.

می­‌توان سؤال را به‌صورت زیر صورت‌بندی کرد:

۱) به ازای چه اعداد اولی یک مثلث قائم‌الزاویه وجود دارد که طول وترش همان عدد اول باشد.

۲) آیا این مسئله تعمیم‌­هایی دارد؟ بررسی کنید.

 

 

مسائل متفاوت، راهبرد یکسان

مسائل متنوعی از ریاضیات وجود دارند که گرچه با ظاهری متفاوت مطرح می‌شوند بااین‌حال راهبرد یکسانی برای حل آن‌ها وجود دارد. این اتفاق در شاخه‌های مختلفی از ریاضی رخ می‌دهد. در اینجا به‌عنوان نمونه چند مورد معروف از مسائلی با ظاهر متفاوت و راهبرد یکسان را موردبررسی قرار می‌دهیم. ازآنجا که قصدداریم مسائل مطرح‌شده چندان سخت نباشند، موضوعاتی را در نظر می‌گیریم که مربوط به اصول اولیه معروفی در ریاضیات هستند.

 

 

 

در به‌کارگیری از استراتژی اصل ناوردایی، مسائل مطرح‌شده در حوزه‌­های متفاوت ریاضی وجود دارد.(فولادی، ۱۳۸۷)

 

1. در هر خانه یک جدول مستطیلی، عددی صحیح قرار داده‌شده است. در هر حرکت، می­‌توانید هر عدد در یک سطر را ۲ برابر سازید، یا از هر عدد یک ستون ۱ را بکاهید. ثابت کنید که با دنباله‌­ای از این حرکت‌های مجاز می‌توانید به جدولی از صفرها برسید.
2. عمل زیر روی یک‌چند ضلعی غیر محدب P که ضلع‌­هایش جز در رأس‌ها باهم برخورد نمی­‌کنند، انجام می ­شود. فرض کنید A , B در رأس غیر مجاور باشند و P در یک سمت AB  قرارگرفته باشد. یکی از بخش‌­های P را که A را به B وصل می‌­کند، در O، نقطه میانی پاره‌خط AB ، بازبتابانید. ثابت کنید که چندضلعی بعد از تعدادی متناهی از چنین بازتاب ­هایی محدب می­‌شود.
3. با چهار مثلث قائم‌الزاویه همنهشت آغاز کنید. در یک گام ، می­‌توانید یک مثلث دلخواه را بردارید، و آن را از روی ارتفاع زاویه قائمه به دو بخش ببرید. ثابت کنید که هرگز نمی­‌توانید از مثلث­‌های همنهشت خلاص شوید.

 

 

استفاده از ایده اصل فرین در حل مسائل ریاضی (در حوزه هندسه، نظریه گراف، ترکیبات و نظریه اعداد)(فولادی، ۱۳۸۷)

 

• فرض کنید Ω مجموعه­ای از نقطه­‌ها در صفحه باشد، هر نقطه در Ω نقطه میانی دونقطه در Ω است. نشان دهید که Ω مجموعه­‌ای متناهی است.
• از n نقطه در فضا، هیچ چهار­تایی روی صفحه قرار نمی‌­گیرند. برخی از نقطه­‌ها با خط­‌هایی به هم وصل شده‌اند و گراف G را با k یال را به دست آورده ­ایم.
• اگر G شامل هیچ مثلثی نباشد، آنگاه [K≤[n^۲⁄۴.
•  اگر G شامل هیچ چهاروجهی نباشد آنگاه[K≤[n^۲⁄۳.
• هر یک از ۳۰‌ شاگرد یک کلاس تعداد یکسانی دوست را میان همکلاسی­‌هایش دارد. بیشترین تعداد ممکن دانش­‌آموزانی که بهتر از اکثریت دوستان‌شان قرار می­‌گیرند، چیست؟ از میان هر دو دانش­‌آموز، می­‌توان گفت کدام‌یک بهتر است.

 

 

به‌کارگیری از اصل جعبه در حوزه­های متفاوت ریاضی(فولادی، ۱۳۸۷)

 

1. فرض کنید a_۱,…,a_n که n، دنباله­ای دلخواه از اعداد صحیح مثبت باشد. ثابت کنید همواره می­‌توان زیر دنباله­‌ای انتخاب کرد و عضوهایش را جمع یا تفریق کرد به‌گونه‌ای که حاصل‌ضربی در n^۲ باشد.
2. در هر ۲n ضلعی محدب ، قطری وجود دارد که با هیچ ضلعی موازی نیست.
3. در میان n+1 عدد صحیح از {۱,۲,…,۲n} . دو تا هستند که متباین می­‌باشند.
4. نگاشت (f(x)=cosx+cos(x√۲ متناوب نیست.
5. i)ثابت کنید که عددهای صحیح a,b,c نه همه صفر و هر یک با قدر مطلق کوچک‌تر از ۱۰^۶وجود دارند، به‌گونه‌ای که |a+b√۲+c√۳|<10^-۴.
6. ii) فرض کنید a,b,c عددهایی صحیح نه همه صفر و هر یک با قدر مطلق کوچک‌تر از ۱۰^۶ وجود دارند، ثابت کنید که |a+b√۲+c√۳|>10^-۲۱.

 

 

استفاده از استراتژی ترکیبات شمارشی. (فولادی، ۱۳۸۷)

1. چهار نقطه ناهم صفحه داده‌شده‌اند. چند جعبه وجود دارند که این نقطه‌ها رأس‌های آن‌ها باشند؟ یک جعبه با سه جفت صفحه موازی محصور می­‌شود.
2. یک جایگشت p از مجموعه {۱,۲,..,n} یک خود گشت نامیده می­‌شود اگر pop همانی باشد، بازگشتی برای تعداد t_n خودگشت‌های {۱,…,n} بیابید.یک فرمول بسته به شکل یک مجموع نیز بیابید.
3. ردیفی دایره­‌ای را از n صندلی در نظر بگیرید. روی هر یک از آن‌ها، یک کودک نشسته است. هر کودک می‌تواند با حداکثر یک صندلی جابجا شود، تعداد a_n روش‌­هایی را که آن‌ها می­‌تو‌انند بازآرایش یابند، بیابید.

 

 

به‌کارگیری از اصل استقرا(فولادی، ۱۳۸۷)

1. ۲n نقطه در فضا داده‌شده‌اند. روی‌هم n^۲+۱ پاره‌خط نیز میان این نقطه‌­ها کشیده شده­‌اند. نشان دهید که حداقل یک مجموعه از سه‌نقطه وجود دارد که عضوهای آن دوبه‌دو به هم وصل شده باشند.
2. با تعریف a_۰=۱ ,a_n+1=√۲^a_n  که N_۰ n ، یک برج نمایی را می­‌سازیم. نشان دهید که دنباله a_n یکنوا صعودی و از بالا کران‌دار به ۲ است.
3. در یک ماتریس m×n از عددهای حقیقی، حداقل p تا (p≤m) را از بزرگ‌ترین عددها در هر ستون، و حداقل q تا (q≤n) را از بزرگ‌ترین عددها در هر سطر نشانه­‌گذاری می­‌کنیم. ثابت کنید که حداقل pq عدد دو بار نشانه­‌گذاری شده‌اند.

 

 

مسائل یکسان، راهبرد متفاوت

در بخش قبل دیدیم که مسائل متفاوت می‌توانند راهبردهای یکسانی داشته باشند. در این بخش قصد داریم از دیدگاهی دیگر مسائل ریاضی را موردبررسی قرار دهیم. این بار به سراغ مسائلی می‌رویم که در عین یکسان بودن ازلحاظ ظاهری، راهبردهای متفاوتی را برای حل‌ می‌طلبند. همانند بخش قبل به دلیل آن‌که قصد داریم مسائل ساده‌ای را موردبررسی قرار دهیم سعی می‌کنیم مسائل مربوط به اصول موضوعه معروف را خاطرنشان کنیم.

 

– در هر خانه یک‌تخته شطرنج ۸×۸ ، عددی صحیح قرار داده‌شده است. در هر حرکت، یک مربع ۴×۴ یا ۳×۳ را انتخاب کنید، و به هر عدد مربع انتخاب‌شده ۱ را بیفزایید. آیا همواره می­‌توانید جدولی را با همه درایه­‌های بخش­پذیر بر ۲و۳ به دست آورید. (ایده اصل ناوردایی)

– یک عدد صحیح مثبت روی هر خانه یک‌تخته ۸×۸ قرار داده‌شده است. می­‌توانید یک زیر تخته ۳×۳ یا ۴×۴ دلخواه را انتخاب کنید، وبه هر خانه­‌اش ۱ را بیفزایید. هدف به دست آوردن ۶۴ عدد مضرب ۱۰ است. آیا این هدف همواره می­‌تواند به دست آید. (ایده اصل جعبه) (فولادی، ۱۳۸۷)

 

• اگر p عددی اول باشد، چه وقت ۴^p+p^۴ عددی اول است؟ (به‌کارگیری راهبرد تجزیه )
• اگر n عددی طبیعی باشد، چه وقت n^۴+۴ عددی اول است؟ (به‌کارگیری راهبرد همنهشتی)

 

 

امیدوارم از این مقاله هم لذت برده باشید. اگر انتقاد، پیشنهاد یا سوالی دارید . خوشحال میشیم با ما به اشتراک بزارید.