برای آنکه فردی به مرحلهای از توانایی برای انجام کار پژوهشی در ریاضی برسد، لازم است در ابتدا یک ریاضیخوان خوب باشد. شخص باید بتواند متون ریاضی روز را بهخوبی بخواند و بفهمد. همچنین باید درک درستی از تعریف یک مسئله جدید برای انجام کاری پژوهشی داشته باشد. بهعلاوه باید قادر باشد که یافتههای خود را بهخوبی بنویسد تا دیگر ریاضیدانان بتوانند بهسادگی آنچه را او یافته است بخوانند. آنچه در این مقاله از سایت اپسیلون علم میآوریم ۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی و رسیدن به چنین مرحلهای از توانایی برای یک فرد است.

۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی
گام اول: دلیل و استدلال آوردن
رأس میگوید:” اساس ریاضیات استدلال است و اگر توانایی استدلال در دانشآموزان رشد نکرده باشد، ریاضیات برای او به مجموعههایی از رویهها و مثالهای تکراری فاقد اینکه چرا چنین هستند، تبدیل میشود
رضایی میگوید: “اثبات، گفتمان ریاضی است” یعنی چیزی که ما بهعنوان ادبیات ریاضی با فرهنگ ریاضی میشناسیم. در استانداردهای NCTM، از اثبات بهعنوان “یک روش رسمی برای بیان انواع خاصی از استدلالها و قضاوتها” یادشده که از استدلالهای ریاضی، اثبات رسمی بنویسند و ارزش چنین بحثهایی را حس کنند. درواقع باید حساسیت ریاضی شاگردان را هر چه زودتر تقویت کرد. لازم است پیش از آنکه از دانشآموزان بخواهیم که اثبات بنویسند، توانایی ریاضی آنها توسعهیافته باشد.
توانایی استدلال شفاهی و قضاوت کردن دربارهی قابلقبول بودن یک مفهوم، یا اینکه چرا یک رویّه باید مورداستفاده قرار بگیرد و نیز توانایی نقد اینها، قدم اول راه است و اگر دانشآموزی این مهارتها را نداشته باشد، در اثبات نیز موفق نخواهد بود. مهارتهای استدلال و قضاوت کردن، دانشآموزان را به فعالیتهای روزانه ریاضیاتیشان پیوند میدهد.
استانداردهای NCTM میگوید: “استدلال و اثبات، باید بهعنوان بخشی از تجربههای ریاضی دانشآموزان از پیش از دبستان تا پایهی دوازدهم و بهصورت یک عادت ذهنی، مانند دیگر عاداتشان درآید، تا در بسیاری از زمینههای دیگر نیز بتوانند آنها را توسعه داده و از آن بهره بگیرند.
” مانسی” معتقد است که در سطح ابتدایی، دانش آموزان باید در موقعیتهایی که آنها را قادر به ساختن و اصلاح کردن و آزمودن حدسهایشان میسازد، قرار بگیرند و این موقعیتها باید تا دبیرستان که دانش آموزان نیاز به دانستن این دارند که چگونه ایده های خود را به زبان ریاضیاتی و نمادین بیان کنند، ادامه یابد. آنها باید یاد بگیرند که مثالهای خود را توسعه بدهند و بتوانند استدلالهای خود را در گروه بهخوبی بیان کنند. در دبیرستان باید بتوانند بحثهای خود را شفافتر مطرح کنند و آنهارا بهطور رسمی بنویسند. معلم و دانشآموزان باید عادت کنند که بپرسند”چرا؟ ” چراکه این سؤال نقادانه برای توسعهی مهارتهای استدلال ریاضی دانش آموزان الزامی است.
بسیاری از محققان معتقدند به کمک مهارتهای هندسی بهخوبی میتوان توانایی استدلال دانش آموزان را سنجید و اصولاً ناتوانی استدلالی آنها اغلب در این درس حس میشود.
گام دوم: روشهای استدلال کردن
در ریاضیات روشهای استدلالی فراوانی بکار میرود برخی از انواع آن به شرح زیر است:
- روش شهودی:
این روش به درک شهودی و احساس وابسته بوده و استدلال در آن، متکی به حواس و غرایز افراد است. ازاینرو ممکن است اشخاص متفاوت، روشهای مختلفی برای آن داشته باشند.
- روش استقرایی:
استدلالی است که در آن از احکام جزئی و حالتهای خاص، احکام کلی را استنباط میکنند.
- روش تمثیل:
که در حقیقت پیدا کردن نوعی مشابهت میان مفاهیم گوناگون است و میتوان در ایجاد زمینههای شهودی برای درک پدیدههای ریاضی، مؤثر واقع شود.
گام سوم: تعریف یک مفهوم
تعریف یک اصطلاح عبارت از بیان کردن معنی آن با الفاظ و اصطلاحات دیگری است که بنا به فرض آنها را خوب میشناسیم.حال میخواهیم دو اصطلاح “تعریف مفهوم” و “تصور مفهوم” و ارتباط بین آنها را دریابیم.
ما از اصطلاح “تصور مفهوم” برای توصیف ساختار شناختی کلیای که با یک مفهوم در پیوند است استفاده میکنیم که تمامی تصاویر ذهنی و ویژگیها و فرایندهای مرتبط با آن مفهوم را در برمیگیرد. تصور مفهوم بهمرورزمان و در جریان مواجهشدن با انواع تجارب شکل میگیرد و تحت تأثیر محرکهای جدید تغییر و رشد مییابد و درواقع محرکهای متفاوت میتوانند به فعال شدن بخشهای متفاوتی از تصور مفهوم منجر شوند.
به همین دلیل ممکن است در زمانهای متفاوت، دیدگاههای ناسازگاری در ذهن فرد به وجود بیاید که تا زمانی که آنها بهطور همزمان فراخوانده شوند وی از این ناسازگاریها آگاه نیست.
تعریف مفهوم مطلب دیگری است. “تعریف مفهوم” عبارتی است که برای مشخص کردن آن مفهوم مورداستفاده قرار میگیرد.
این تمایز واضح، زمانی آشکار میشود که پیچیدگی شناختی مفهوم قدرتمندی مانند تابع مورد تحلیل قرار میگیرد. تعریف مفهوم یک تابع ممکن است اینطور باشد که “یک رابطه بین دو مجموعهی A ،B که در آن هر عضو A تنها با یک عضو مرتبط میشود”. اما برخورد با این مفهوم، جنبههای دیگری را نیز در برمیگیرد. برای مثال، ممکن است یک تابع بهعنوان یک عمل که برای هر عنصر x درA یک عنصر (f(x را در B تعیین میکند. یا بهعنوان یک نمودار، یا بهعنوان یک جدول مقادیر در نظر گرفته شود.
تجربیات و برخوردهای فرد در یک زمینهی خاص، ممکن است باعث شود تصوری که او از یک تابع ساخته است بهگونهای باشد که وی، تابع را همواره بهعنوان یک فرمول و یا شاید بیشتر از یک فرمول و یا تعداد متناهی فرمول در بخشهای مختلف در نظر بگیرد.
ازنظر تال معقول نیست که انتظار داشته باشیم که دانشآموزان بهطور کاملاً منطقی، از تعاریف مفهوم صحبت کنند، بدون اینکه تصورات مفهوم خود را دخالت دهند. او ادعا میکند که؛
۱)برای دست ورزی با مفاهیم، فرد نیاز به یک تصور مفهوم دارد نه یک تعریف مفهوم.
۲)تعاریف مفهوم (زمانی که مفهوم توسط یک تعریف بیانشده باشد.) غیرفعال خواهد ماند و حتی ممکن است به فراموشی سپرده شوند. اما در فرایند فکر کردن، این تصور مفهوم است که همیشه فراخوانده میشود.
تال(۱۹۸۸) اظهار میدارد که با چنین ادعایی، ممکن است این سؤال مطرح شود که”چطور در بین انواع مختلفی از تصورات مفهوم یک روش مشخص میتوان ارائه کرد که باعث رشد و پیشرفت یادگیری و یاددهی ریاضیات شود؟” وی در پاسخ بیان میدارد که تنوع تصورات مفهوم در فرد، نشان میدهد که پیش بردن دانش ریاضی به یک روش رسمی، بهسادگی امکانپذیر نیست و جایگزین این روش، فرصت دادن به دانشآموزان برای پیدا کردن تجربیات غنیتر است بطوریکه آنها را قادر کند تصورات منسجمتری را از یک مفهوم تشکیل دهند.
ازنظر تال، این کار بهسادگی قابل انجام نیست و دربرگیرندهی ایجاد تعادل بین انواعی مثالها و نامثالها است که هر دو، لازمهی ایجاد تصور منسجمی از یک مفهوم است.
تمام مفاهیم ریاضی بهجز مفاهیم اولیه، دارای تعریف رسمی هستند که بسیاری از آنها یک یا چند بار به دانشآموزان معرفی میشوند. درحالیکه معمولاً دانشآموزان برای تشخیص اشیای ریاضی موردبحث بهعنوان یک مثال یا نامثال از آن مفهوم، عملاً تعریف را استفاده نمیکنند و در بسیاری از موارد، بر مبنای یک تصور مفهوم، تصمیم میگیرند. آنها همچنین اظهار میدارند: “تصور مفهوم “دانشآموز از یک مفهوم، حاصل تجربهی وی با مثالها و نامثالهایی از آن مفهوم است. درنتیجه مجموعهی اشیای ریاضی که توسط دانشآموز بهعنوانمثالهایی از مفهوم در نظر گرفته میشود، الزاماً همان مجموعهی اشیاء ریاضی که توسط تعریف ،معین میشود، نیست.
اگر این دو مجموعه یکسان نباشد، ممکن است رفتار(ذهنی) دانشآموز با آنچه معلم انتظار دارد، فرق داشته باشد، بهمنظور ایجاد ارتباط بین این دو مجموعه، لازم است بدانیم که چرا این یکسانی وجود ندارد. درنتیجه، برای رفع این مشکل بایستی به دنبال چرایی چنین اتفاقاتی برویم. درواقع باید مثالها و نامثالهای مفاهیم را طوری سازماندهی کنیم که تصورات مفهوم دانشآموزان به سمت تعریف مفهوم نزدیک و نزدیکتر شود.
به اعتقاد وینر، در اهمیت بررسی تصورات و تعاریف مفهوم میتوان به این نکته اشاره کرد که گاهی اوقات، وقتی از دانشآموزان خواسته میشود به توضیح مفاهیم سادهای مانند زاویهی قائمه، محور مختصات، ارتفاع در مثلث و مشابه آن بپردازند، اغلب این مفاهیم اولیه را نمیشناسند یا تصورات نادرستی از آنها دارند. این تصورات ممکن است نتیجهی برخورد یادگیرندهها با مجموعهی خاصی از مثالها باشد که در آموزش ریاضی مدرسهای به آنها ارائهشده است. بدینجهت، بهجای ایجاد تصورات صحیح و غنی از آن مفهوم، برای آنها در حد یک تمثیل باقیمانده است.
مثال
کره معمولاً بهصورت مکان هندسی نقاطی که از نقطه مفروض فاصلههای برابر با یکدیگر داشته باشند تعریف میشود. ولی میتوانیم کره را چون سطح حاصلشده از دوران یک دایره برگرد یکی از قطرهایش تعریفکنیم. کره تعریفهای شناختهشده دیگری هم دارد، و جز اینها نیز میتوان تعریفهای تازهای برای آن یافت. هنگامیکه مسئله طرحشدهای را که متضمن مفهوم مشتق شده”کره” است را حل کنیم و میخواهیم به تعریف آن بازگردیم، لازم است از میان چند تعریف یکی را برگزینیم، در چنین حالتی اینکه کدام تعریف را برگزینیم حائز اهمیت است.
بازگشت به تعاریف، عمل مهمی از فکر و ذهن است. اگر بخواهیم بدانیم که چرا تعریفهای کلمات این اندازه اهمیت دارند، باید نخست این مطلب بر ما محقق شود که کلمات حائز اهمیت است. نمیتوانیم فکر و ذهن خود را بدون کلمات یا علامات و یا نمادها بکار اندازیم. بنابراین کلمات و علامات قدرت دارند.
مثال(تعریف مفهوم).سری را همگرا گویند هرگاه:
۱)حد جمله عمومی آن برابر صفر باشد. ۲)مقدار سری برابر صفر باشد.
۳)دنباله مجموع جزئی سری دارای حد باشد. ۴)جمله عمومی سری برابر صفر باشد
مثال. کدامیک از گزارههای زیر درست است:
۱)اگر حد جمله عمومی سری برابر صفر باشد، سری همگراست.
۲)اگر سری همگرا باشد، حد جمله عمومی آن برابر صفر است.
۳)اگر حد جمله عمومی سری مخالف صفر باشد، ممکن است سری همگرا باشد.
۴)اگر سری واگرا باشد، حد جمله عمومی آن مخالف صفر است.
مثال. کدامیک از گزارههای زیر درست است.
۱) اگر g+f در a پیوسته باشد، آنگاه توابع g,f در a پیوسته است.
۲) اگر f.g در a پیوسته باشد، آنگاه توابع g,f در a پیوسته است.
۳) اگر g,f در a ناپیوسته باشد، آنگاه f+g در a ناپیوسته است.
۴) اگر f در a پیوسته و g در a ناپیوسته باشد، آنگاه f+g در a ناپیوسته است.
گام چهارم آوردن نمونهای از مسائل ریاضی که توانسته درکی از سؤال داشته باشد:
دانشآموزی که بهخوبی مفهوم متغیر، روش معادله نویسی را یاد گرفته است با تفسیر و استدلال درست سؤال زیر میتواند سؤالاتی مشابه اما پیچیدهتر از مسئله اول را بیان کند.
سؤال۱.پدری برای سه پسر خود، ۱۶۰۰ تومان باقی گذاشت.در وصیتنامه تأکید شده بود که پسر بزرگتر ۲۰۰ تومان بیشتر از پسر دوم و پسر دوم، ۱۰۰ تومان بیشتر از پسر کوچکتر بردارد. حال سهم هر یک از پسرها را پیدا کنید.
سؤال۲ . پدری برای چهار پسر خود، ارثهای نقدی باقی گذاشت و سهم آنها را بدین ترتیب تعیین کرد:
اولی:بهاندازه نصف همه پول منهای ۳۰۰۰ تومان.
دومی:یکسوم همهی پول، منهای ۱۰۰۰ تومان.
سومی:یکچهارم تمام پول.
چهارمی:۶۰۰ تومان بهاضافه یکپنجم تمامی پول.
-مبلغ ارثیهی و سهم هر یک از پسرها را پیدا کنید.
سؤال۳. پدری بعد از مرگ، چند فرزند از خود باقی گذاشت و در وصیتنامه خود، سهم آنها را اینطور تعیین کرد:
اولی:۱۰۰ تومان بهاضافهی یکدهم بقیه پول
دومی:۲۰۰ تومان بهاضافهی یکدهم بقیهی بعدی پول
سومی:۳۰۰ تومان بهاضافهی یکدهم بقیه پول بعدی
چهارمی:۴۰۰ تومان بهاضافهی یکدهم بقیهی بعدی پول و غیره.
بعد از اجرای وصیتنامه معلوم شد، به همهی فرزندان به مقدار مساوی پول رسیده است. میخواهیم مبلغ ارثیه و سهم هر فرزند را پیدا کنید.
سؤال۴. سه نفر باهم بازی میکنند. در بازی نخست، اولی به هرکدام از دو نفر بهاندازه پولی که در اختیار داشتند، باخت. در بازی دوم، دومی بهاندازه دو برابر پولی که هرکدام از دو نفر دیگر در آن موقع داشتند، باخت و بالاخره در بازی سوم، اولی و دومی بهاندازه پولی که داشتند از سومی بردند. بعد از پایان سه بازی، معلوم شد که هر یک از آنها،۲۳۰۰ تومان دارند. میخواهیم پول هر یک را قبل از بازی، پیدا کنیم.
(نمونهای از مسائل درصد):

۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی
- در یک هواپیما که دوسوم پر بود، ۲۰% مسافران پسر، یکچهارم مسافران زن، یکهشتم مسافران دختر، ۶۸ نفر از آنها مرد بودند، در این هواپیما چند صندلی وجود دارد.
- قیمت فروش یک میزتحریر با ۲۲.۵% سود فروشنده،۱۵۵۴۰ تومان بود. چه مقدار از این مبلغ، هزینهی تولید میزتحریر و چه مقدار آن سود فروشنده است.
- نرگس یک جفت دستکش را با ۳۰% تخفیف به قیمت ۲۴۰۱ تومان خرید. قیمت دستکش قبل از تخفیف چقدر بوده است.
- کلاس ترم اول آقای هاشمی ۴۰ نفر دانشآموز داشت. در امتحان پایانترم، میانگین پاسخهای صحیح دانش آموزان ۹۶% بود. در کلاس ترم دو ۲۰ دانشآموز شرکت داشتند. میانگین پاسخهای صحیح این دانش آموزان به پرسشهای امتحانترم قبل ۹۰% بود. میانگین پاسخهای صحیح دانشآموزان در هر دو ترم چند درصد بوده است.
(درک از سؤال و بازسازی سؤالاتی مرتبط با آن)
با استفاده از ارقام ۱,۲,۳,۴ و اعمال اصلی حساب هر یک از اعداد ۱ تا ۲۵ را بهصورت زیر نشان دهید.
۲×۳-(۱+۴)=۱.
_ اگر شما اصول جذر و توان و فاکتورگیری را بکار گیرید، آیا میتوانید همهی اعداد صحیح ۱ تا ۱۰۰ را ایجاد کرد.
_ اولین عدد طبیعی که قابل اشتقاق گرفتن نیست، چیست؟
_ اولین عددی را که نمیتوان با بهکارگیری اعداد حسابی به دست آورد، کدام است.
(درک از سؤال و بازسازی سؤالاتی مرتبط با آن)
اعداد ۴۱,۳۲,۸۳ اعدادی هستند که رقم اولشان بزرگتر از رقم دوم آنهاست. چه تعداد اعداد دورقمی وجود دارد که دارای این ویژگیاند.
_ چه تعداد اعداد سهرقمی وجود دارد که رقم اولشان بزرگتر از ارقام دوم و سوم است؟
_ آیا میتوانید تعمیمی برای اعداد n-رقمی بیابید.
_ اعداد سهرقمی که رقم اولشان از مجموع ارقام دوم و سوم بزرگتر باشد، را بیان کنید.
گام پنجم ریاضی خواندن را یاد بگیرند:
قبل از اینکه شما تصمیم به حل مسائل ریاضی بگیرید، مهم است که شما بهطور دقیق فصل مربوطه به کتاب ریاضی خود را بخوانید. مثالها را مطالعه کنید، تعاریف را یادداشتبرداری کنید، مثالها را مطالعه کنید، تذکرات نویسنده را یادداشت کنید و مثالها را مطالعه کنید!
چطور کتاب درسی ریاضی خود را بخوانید: (هویس، ۲۰۰۸)
۱-به موضوع فصل نگاه کنید و اهداف یادگیری در شروع فصل را توصیف کنید.
۲-بهطور سطحی فصل را مطالعه کنید.
۳-با مداد سؤالات و گامهای نامفهوم از مثالهای حلشده را علامت بزنید.
۴-همهی تمرکزتان را روی مطالعه قرار دهید.
۵-وقتی شما به مثالها میرسید، هر گام را انجام دهید(بحث کنید) و بفهمید.
۶-مفاهیم و کلماتی را که شما نمیفهمید، علامت بزنید:
- یک لیستی از آن قسمتهایی را که باعث اشتباهات(گیجی) شما میشوند را تهیه کنید.
- کلمات مجهول را در فرهنگ لغت ریاضی جستجو کنید.
- مفاهیم مجهول را از معلمتان بپرسید.
۷-لیستی از مفاهیم مهم را تهیه کنید:
- روی ورقههای جدا از هم، لیستی از تعاریف، تئوریها و فرمولها داشته باشید.
- هر وقت که شما یکفصل از کتاب ریاضیتان را خواندید، به این لیست چیزهای جدیدی اضافه کنید.
- روزانه این فهرستها را مرور کنید.
۸-اگر شما اصول موردمطالعه را نفهمیدید، نکات زیر را دنبال کنید تا اینکه موضوع را درک کنید:
- به صفحات قبلی برگردید و اطلاعاتی را که برایتان گنگ بود را دوباره بخوانید.
- به جلو بروید و صفحات بعدی را بخوانید تا به آنجایی که نویسنده راهنمایی کرده است برسید.
- همه شکلهای هندسی، نمودارها و جدولها و مثالها بکار رفته برای شرح بیشتر مفاهیم را مطالعه کنید.
- پاراگرافهایی را که نمیفهمید با صدای بلند دوباره بخوانید تا اندامهای حسیتان نیز درگیر شود.
- به یادداشتهایی که از سر کلاس از همان مورد برداشتهاید رجوع کنید.
- به کتاب ریاضی دیگری رجوع کنید. شما میتوانید توضیحات (تفسیرهای) و یا مثالهایی پیدا کنید که درک بیشتری به شما بدهد.
- از نوارهای دیداری، سیدیها و منابع وب سایتها استفاده کنید تا به درک شما کمک کند.
- آنچه را که بهدرستی نفهمیدید را مشخص کنید و از معلم و همکلاسیتان بپرسید.
استراتژی KWL: (هوبس، ۲۰۰۸)
آنچه را که پیشازاین یاد گرفتهاند: K
آنچه را که میخواهیم پیدا کنیم(کشف کنیم) :W
آنچه را که ما از خواندن آن یاد گرفتهایم: L
نکاتی قبل از ریاضی خواندن:
- تعیین کنید که چه موضوع خاصی هست که قصد دارید دربارهاش مطالعه کنید. در یک کتاب ریاضی، اهداف معمولاً در ابتدای هر فصل شرح دادهشده است.
- ۵ تا ۹ چیزی را که شما قبلاً درباره این موضوع خاص یاد گرفتهاید، را یادداشت کنید.
- ۵ تا ۹ سؤال درباره آنچه شما میخواهید درباره این موضوع از فصل موردمطالعه یاد بگیرید، را یادداشت کنید.

۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی
نکاتی بعد از مطالعه:
- ۵ تا ۹ اندیشهی که شما از خواندن فصل یاد گرفتهاید را بنویسید.
- در جملات خودتان، توصیف کنید که شما چه اندازه یاد گرفتهاید.
- لیستی از منابعی که زمان انجام تمرینهای منزل و بررسی مثالها از آنها استفاده کردید را تهیه کنید.
- لیستی از تعاریف، خواص، فرمولها و تئوریها را تهیه کنید.
- مقایسه کنید که چه اندازه شما یاد گرفته اید، چه اندازه میدانستید و چه اندازه میخواهید یاد بگیرید.
گام ششم ریاضی نوشتن:
ریاضی نوشتن همچون ترجمه کردن از یکزبان به زبان دیگر است. نوشتن و آراستن معادلات به معنی بیان کردن شرطی که با کلمات بیانشدهاند از راه نمایش دادن آن با علامتها و نمادهای(رمزها) ریاضی است. در هنگام بیان کردن شرطی که در صورتمسئله با کلمات آمده بهوسیله نمادهای ریاضی نیز وضعی که پیش میآید با وضع ترجمه بسیار شبیه است. نخست باید کاملاً شرط را فهمیده باشیم، دوم باید با صورتهای بیان ریاضی آشنا باشیم.
خوب نوشتن ریاضی انعکاسی از ذهن است. چیزی که فرد مینویسد، تصویر ذهن اوست، درست مثل شکلی که درون آیینه افتاده باشد. هر فرد با نوشتههایش درون ذهن خود را به دیگران نشان میدهد و هر چه زیباتر بنویسد تأثیرگذارتر است. باید ریاضی را زیاد بنویسد تا در نوشتن تبحر پیدا کند و آن زمان است که میتواند در ریاضیات کار بزرگی انجام دهد و به دیگران هم آنها را یاددهد.
مسائل سخت ریاضی توسط ریاضیدانهای بزرگ هنگامی حل میشود که روی کاغذ آورده میشود و هیچوقت نمیتوان همه عملیات و استدلالهای لازم را در ذهن پیگیری کرد و نوشتن است که دست را روان میکند.
گام هفتم تجربهای برای اینکه خودش ریاضی را بنویسد:
یعنی دانشآموز خود، ارتباط بین مفاهیم و مطالب ریاضی را یافته و درصدد کشف یک ایده جدید، الگویابی و بالا بردن مهارتهای تعمیم خود باشد.
یکی از روشهای اساسی پیدایش ایدههای ریاضی، تعمیم دادن است و ریاضیدان همگی از این روش استفاده میکنند، تعمیم دادن یعنی از حالتهای خاص به حالتهای کلیتر رسیدن.(تابش، رستگار، حاجی بابایی، ۱۳۸۸)
مثال. آیا برای اعداد حقیقی دلخواه a۱,a۲,b۱,b۲ نابرابریa۱۲+a۲۲×√b۱۲+b۲۲√ a۱b۱-a۲-b۲≤ برقراراست؟ آیا در این صورت نابرابری تعمیم پیدا میکند؟
تعمیم دادن یکی از مهارتهای تفکر ریاضی است. مهمترین راه دستیابی به این مهارت، این است که دانشآموز خود مستقلاً دست بکار شود و عملیات را انجام دهد. تلاش فکری شما بسیار مهمتر از نتیجه نهایی است.
مثال.(کشف یک ایده و الگویابی).
الف-عدد طبیعی n=2K را در نظر بگیرید، چند مقسومعلیه دارد؟۱=n را هم بهحساب آورید. آیا الگویی وجود دارد.
ب- عدد طبیعی n=10k را در نظر بگیرید. چند مقسومعلیه دارد؟۱=n را هم بشمارید.آیا الگویی وجود دارد. آیا با عاملهای اول مربوط است.
_ بر اساس الف و ب، درباره تعداد مقسومعلیههای یک عدد حدسی بزنید. برای عدد طبیعی و دلخواه n میتوانید در حالت کلی استدلالی برای تعداد مقسومعلیههای آن بیاورید.
مثال(کشف یک ایده و الگویابی).
۱۰ منحنی روی یک صفحه طوری رسم شدهاند که هر خط منحنی هر یک از خطهای دیگر را دقیقاً در دونقطه قطع میکند. درمجموع چند نقطهی تقاطع به دست میآید. چند ناحیه توسط این خطهای منحنی در صفحه پدید می آید. در حالت n خط چطور؟ آیا الگویی میتوان یافت.

۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی
مثال(کشف یک ایده و الگویابی).
مثلث یکچند ضلعی با سه یال است و چهارضلعی، چندضلعیای است که چهار یال دارد و یک n ضلعی، nضلعیای با n یال است، یکی از راههای دستهبندی چند وجهیها، شمارش تعداد وجه آنهاست. مثلاً، یک مکعب مربع، شش وجه دارد و گاهی نیز ششوجهی خوانده میشود. میدانیم برای هر n>2 یکچند ضلعی با n ضلع وجود دارد؛ یک n ضلعی. آیا چیزی بهنام هفتوجهی وجود دارد؟ یعنی یک چندوجهی که دقیقاً هفت وجه داشته باشد، برای کدام n، یک n وجهی وجود دارد.
گام هشتم یافتن یک موضوع علمی_پژوهشی:
در ریاضیات، دانستن یعنی انجام دادن، بنابراین روش یادگیری ریاضی متکی بر انجام دادن توسط دانشآموز است. یادگیری ریاضی مثل یادگیری شنا است هرچقدر دربارهی شنا کردن مطالعه کنید، شناگر نمیشوید. باید دست به عمل بزنید و وارد آب شوید.
صرفاً با خواندن کارهای ریاضی دیگران نمیتوان کار نو در ریاضی انجام داد، خلاقیت و کشف باید در قلب آموزش ریاضیات باشد و از مدرسه شروع شود. هدف از کار پژوهشی ریاضی در مدرسه، تحقیق در مرزهای ریاضی نیست، بلکه حل هر مسئله نابدیهی بهوسیله یک دانشآموز، یک کار نو است. حل یک یا چند مسئله نابدیهی مرتبط باهم، مدلسازی یک پدیده به زبان ریاضی و بررسی ویژگیهای آن به کمک ریاضی، نمونههای کار پژوهشی در ریاضیات است.
مثال. مثلثی با ضلعهایی به طول ۳،۴،۵ قائمالزاویه است. مثلثی با ضلعهای به طول ۵،۱۲،۱۳ نیز قائمالزاویه است. مشاهده میشود که وترهای این دو مثلث عددهایی اول هستند؛ آیا مثلثهای قائم الزوایهی دیگری از این نوع وجود دارند. تحقیق کنید.
میتوان سؤال را بهصورت زیر صورتبندی کرد:
۱) به ازای چه اعداد اولی یک مثلث قائمالزاویه وجود دارد که طول وترش همان عدد اول باشد.
۲) آیا این مسئله تعمیمهایی دارد؟ بررسی کنید.
مسائل متفاوت، راهبرد یکسان
مسائل متنوعی از ریاضیات وجود دارند که گرچه با ظاهری متفاوت مطرح میشوند بااینحال راهبرد یکسانی برای حل آنها وجود دارد. این اتفاق در شاخههای مختلفی از ریاضی رخ میدهد. در اینجا بهعنوان نمونه چند مورد معروف از مسائلی با ظاهر متفاوت و راهبرد یکسان را موردبررسی قرار میدهیم. ازآنجا که قصدداریم مسائل مطرحشده چندان سخت نباشند، موضوعاتی را در نظر میگیریم که مربوط به اصول اولیه معروفی در ریاضیات هستند.

۸ گام اولیه برای پژوهش ریاضی
در بهکارگیری از استراتژی اصل ناوردایی، مسائل مطرحشده در حوزههای متفاوت ریاضی وجود دارد.(فولادی، ۱۳۸۷)
- در هر خانه یک جدول مستطیلی، عددی صحیح قرار دادهشده است. در هر حرکت، میتوانید هر عدد در یک سطر را ۲ برابر سازید، یا از هر عدد یک ستون ۱ را بکاهید. ثابت کنید که با دنبالهای از این حرکتهای مجاز میتوانید به جدولی از صفرها برسید.
- عمل زیر روی یکچند ضلعی غیر محدب P که ضلعهایش جز در رأسها باهم برخورد نمیکنند، انجام می شود. فرض کنید A , B در رأس غیر مجاور باشند و P در یک سمت AB قرارگرفته باشد. یکی از بخشهای P را که A را به B وصل میکند، در O، نقطه میانی پارهخط AB ، بازبتابانید. ثابت کنید که چندضلعی بعد از تعدادی متناهی از چنین بازتاب هایی محدب میشود.
- با چهار مثلث قائمالزاویه همنهشت آغاز کنید. در یک گام ، میتوانید یک مثلث دلخواه را بردارید، و آن را از روی ارتفاع زاویه قائمه به دو بخش ببرید. ثابت کنید که هرگز نمیتوانید از مثلثهای همنهشت خلاص شوید.
استفاده از ایده اصل فرین در حل مسائل ریاضی (در حوزه هندسه، نظریه گراف، ترکیبات و نظریه اعداد)(فولادی، ۱۳۸۷)
- فرض کنید Ω مجموعهای از نقطهها در صفحه باشد، هر نقطه در Ω نقطه میانی دونقطه در Ω است. نشان دهید که Ω مجموعهای متناهی است.
- از n نقطه در فضا، هیچ چهارتایی روی صفحه قرار نمیگیرند. برخی از نقطهها با خطهایی به هم وصل شدهاند و گراف G را با k یال را به دست آورده ایم.
- اگر G شامل هیچ مثلثی نباشد، آنگاه [K≤[n۲⁄۴.
- اگر G شامل هیچ چهاروجهی نباشد آنگاه[K≤[n۲⁄۳.
- هر یک از ۳۰ شاگرد یک کلاس تعداد یکسانی دوست را میان همکلاسیهایش دارد. بیشترین تعداد ممکن دانشآموزانی که بهتر از اکثریت دوستانشان قرار میگیرند، چیست؟ از میان هر دو دانشآموز، میتوان گفت کدامیک بهتر است.
بهکارگیری از اصل جعبه در حوزههای متفاوت ریاضی(فولادی، ۱۳۸۷)
- فرض کنید a۱,…,an که n، دنبالهای دلخواه از اعداد صحیح مثبت باشد. ثابت کنید همواره میتوان زیر دنبالهای انتخاب کرد و عضوهایش را جمع یا تفریق کرد بهگونهای که حاصلضربی در n۲ باشد.
- در هر ۲n ضلعی محدب ، قطری وجود دارد که با هیچ ضلعی موازی نیست.
- در میان n+1 عدد صحیح از {۱,۲,…,۲n} . دو تا هستند که متباین میباشند.
- نگاشت (f(x)=cosx+cos(x√۲ متناوب نیست.
- i)ثابت کنید که عددهای صحیح a,b,c نه همه صفر و هر یک با قدر مطلق کوچکتر از ۱۰۶وجود دارند، بهگونهای که |a+b√۲+c√۳|<10-۴.
- ii) فرض کنید a,b,c عددهایی صحیح نه همه صفر و هر یک با قدر مطلق کوچکتر از ۱۰۶ وجود دارند، ثابت کنید که |a+b√۲+c√۳|>10-۲۱.
استفاده از استراتژی ترکیبات شمارشی. (فولادی، ۱۳۸۷)
- چهار نقطه ناهم صفحه دادهشدهاند. چند جعبه وجود دارند که این نقطهها رأسهای آنها باشند؟ یک جعبه با سه جفت صفحه موازی محصور میشود.
- یک جایگشت p از مجموعه {۱,۲,..,n} یک خود گشت نامیده میشود اگر pop همانی باشد، بازگشتی برای تعداد tn خودگشتهای {۱,…,n} بیابید.یک فرمول بسته به شکل یک مجموع نیز بیابید.
- ردیفی دایرهای را از n صندلی در نظر بگیرید. روی هر یک از آنها، یک کودک نشسته است. هر کودک میتواند با حداکثر یک صندلی جابجا شود، تعداد an روشهایی را که آنها میتوانند بازآرایش یابند، بیابید.
بهکارگیری از اصل استقرا(فولادی، ۱۳۸۷)
- ۲n نقطه در فضا دادهشدهاند. رویهم n۲+۱ پارهخط نیز میان این نقطهها کشیده شدهاند. نشان دهید که حداقل یک مجموعه از سهنقطه وجود دارد که عضوهای آن دوبهدو به هم وصل شده باشند.
- با تعریف a۰=۱ ,an+1=√۲an که N۰ n ، یک برج نمایی را میسازیم. نشان دهید که دنباله an یکنوا صعودی و از بالا کراندار به ۲ است.
- در یک ماتریس m×n از عددهای حقیقی، حداقل p تا (p≤m) را از بزرگترین عددها در هر ستون، و حداقل q تا (q≤n) را از بزرگترین عددها در هر سطر نشانهگذاری میکنیم. ثابت کنید که حداقل pq عدد دو بار نشانهگذاری شدهاند.
مسائل یکسان، راهبرد متفاوت
در بخش قبل دیدیم که مسائل متفاوت میتوانند راهبردهای یکسانی داشته باشند. در این بخش قصد داریم از دیدگاهی دیگر مسائل ریاضی را موردبررسی قرار دهیم. این بار به سراغ مسائلی میرویم که در عین یکسان بودن ازلحاظ ظاهری، راهبردهای متفاوتی را برای حل میطلبند. همانند بخش قبل به دلیل آنکه قصد داریم مسائل سادهای را موردبررسی قرار دهیم سعی میکنیم مسائل مربوط به اصول موضوعه معروف را خاطرنشان کنیم.
– در هر خانه یکتخته شطرنج ۸×۸ ، عددی صحیح قرار دادهشده است. در هر حرکت، یک مربع ۴×۴ یا ۳×۳ را انتخاب کنید، و به هر عدد مربع انتخابشده ۱ را بیفزایید. آیا همواره میتوانید جدولی را با همه درایههای بخشپذیر بر ۲و۳ به دست آورید. (ایده اصل ناوردایی)
– یک عدد صحیح مثبت روی هر خانه یکتخته ۸×۸ قرار دادهشده است. میتوانید یک زیر تخته ۳×۳ یا ۴×۴ دلخواه را انتخاب کنید، وبه هر خانهاش ۱ را بیفزایید. هدف به دست آوردن ۶۴ عدد مضرب ۱۰ است. آیا این هدف همواره میتواند به دست آید. (ایده اصل جعبه) (فولادی، ۱۳۸۷)
- اگر p عددی اول باشد، چه وقت ۴p+p۴ عددی اول است؟ (بهکارگیری راهبرد تجزیه )
- اگر n عددی طبیعی باشد، چه وقت n۴+۴ عددی اول است؟ (بهکارگیری راهبرد همنهشتی)
امیدوارم از این مقاله هم لذت برده باشید. اگر انتقاد، پیشنهاد یا سوالی دارید . خوشحال میشیم با ما به اشتراک بزارید.
سلام .گوهری هستم دانشجویی دکتری اموزش ریاضی ودبیر ریاضی انچه راجع به تال نوشته اید مقدور هست منبعش رو برام بفرستید.