روش های استدلال در ریاضی

روش‌های استدلال کردن:

در ریاضیات روش‌های استدلالی فراوانی بکار می‌رود برخی از انواع آن به شرح زیر است:

استدلال در ریاضی

روش شهودی:
این روش به درک شهودی و احساس وابسته بوده و استدلال در آن، متکی به حواس و غرایز افراد است. ازاین‌رو ممکن است اشخاص متفاوت، روش‌های مختلفی برای آن داشته باشند.

مثال۱. نمودار تابع را رسم کنید.

مثال۲. تابع [f(x)=[sinx…..

۱) درπ/۲ پیوسته و در π فقط حد دارد.
۲) درπ/۲ فقط حد دارد و در π حد ندارد.
۳) درπ/۲ فقط حد دارد و در π پیوسته است.
۴) درπ/۲ حد ندارد و در π حد دارد.

نامثال ۱. مرکز تقارن تابع   کدام نقطه است؟

نامثال ۲. معادله دارای چند ریشه حقیقی است؟

نامثال ۳. نقاط برای نمودار تابع   چه نوع نقاطی هستند؟

۱) ماکزیمم نسبی          ۲) عطف          ۳) ساده           ۴) مینیمم نسبی

۲- روش استقرایی:

استدلالی است که در آن از احکام جزئی و حالت‌های خاص، احکام کلی را استنباط می‌کنند.

مثال ۱. ثابت کنید

مثال ۲. نتایج زیر را ملاحظه کنید:

ثابت کنید که بر ۷ بخش‌پذیر است.

مثال ۳. فرض کنید p یک عدد اول فرد و n یک عدد صحیح مثبت باشد، ثابت کنید که همیشه یک مقدار از n وجود دارد، برای اینکه عبارت یک مربع کامل باشد. بعلاوه اینکه n منحصربه‌فرد است.

مثال ۴. نتایج زیر راداریم:

ثابت کنید که   به ازای n های فرد به ۹۹ ختم می‌شود.

مثال ۵. فرض کنید  f_n جملهٔ n ام دنباله فیبوناچی باشد، ثابت کنید برای همهٔ مقادیر ترکیبی n›۴ ،  ترکیبی است.

۳-روش تمثیل:
که در حقیقت پیدا کردن نوعی مشابهت میان مفاهیم گوناگون است و می‌توان در ایجاد زمینه‌های شهودی برای درک پدیده‌های ریاضی،تأثیرگذار باشد.

مثال ۱. اگر تابع (f(x زوج باشد و  باشد، آنگاه:

۱) f در صفر پیوسته و f(0)=0 است.
۲) f در صفر ناپیوسته ولی f(0)=0 است.
۳)f در صفر پیوسته ولی ممکن است ۰≠ (۰)fباشد.
۴) f در صفر ناپیوسته و ممکن است f(0)≠۰ باشد.

مثال ۲. معیار ما برای اینکه یک چندوجهی منتظم باشد، این است که از هر سمت نگاه کنیم یکسان باشد. به‌عبارت‌دیگر همهٔ رأس‌ها و همهٔ یال‌ها و وجه‌ها و زاویه‌ها باید یکسان باشند. شکل مقابل را به‌دقت موردبررسی قرار دهید و سپس تعریفی دقیق برای چندوجهی منتظم ارائه کنید.

مثال ۳. اگر فرض کنیم که چندوجهی دارای خاصیت‌های زیر است:
-همهٔ وجه‌ها همنهشت‌اند.
–همهٔ رأس‌ها یکسان دیده می‌شود، اما همهٔ یال‌ها برابر نیستند،
آیا این چندوجهی می‌تواند وجود داشته باشد؟

مثال ۴. در مسئلهٔ آمده است که در یک چندوجهی، وجه‌ها همنهشت و یال‌ها مساوی هستند و رأس‌ها یکسان دیده می‌شود اما وجه‌های چندوجهی منتظم نیستند. آیا چنین چندوجهی‌ای می‌تواند وجود داشته باشد.

مثال ۵. اگر فرض کنیم که دسته‌بندی چندضلعی‌های منتظم را با عدد n و تعداد وجه‌ها را که در هر رأس باهم تلاقی دارند را با m نشان دهیم. نشان دهید فقط در حالت‌های زیر چندوجهی منتظم وجود دارد.

از حل این مسئله چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت.

مثال۶. شکل‌های که از مربع‌­ها ساخته می­‌شوند و شبیه مثلث هستند بوسیله مربع­‌های واحد، الگویی از شکلها بصورت زیر می­‌سازیم.

الف) دنباله‌­ی محیط‌ها و مساحت‌های این الگو را تشکیل دهید.

ب) قانون کلی دنباله­‌ی محیط­‌ها و مساحت‌­ها را بصورت کلامی و یا زبان ریاضی بیان کنید.

۴- روش برهان خلف: یکی از روش‌های اثبات در علم ریاضی و منطق هست. این روش اثبات غیرمستقیم نامیده می‌شود. درروش برهان خلف، برای آنکه ثابت کنیم قضیه‌ای درست است، ثابت می‌کنیم که خلاف آن قضیه، یعنی نقیض آن، نادرست است.

برهان خلف معمولاً در اثبات عکس یک قضیه بکار می‌رود و مورداستفاده در قضیه‌های دو شرطی است.

مثال ۱. نشان دهید که  گویا نیست.

مثال ۲. فرض کنید p,q اول‌اند، ثابت کنید که  جواب‌های گویای ندارد.

مثال ۳. اگر a<1 آنگاه 

مثال ۴. برای هر مجموعه از اعداد حقیقی  اگر . فرض کنید که x+y+z=1. ثابت کنید s≤۱/۳.

مثال ۵. فرض کنید x,y دو عدد کامل مثبت باشند و p عدد اول فردی باشد و هرگز برابر با یک عدد اول فرد نیست، اما فرض کنید که n یک عدد صحیح مثبت باشد که شامل یک ضریب فرد بزرگ‌تر از یک است. ثابت کنید که همیشه وجود دارد یک مقدار از n برای اینکه عبارت یک مربع کامل باشد.

۵-روش استنتاج منطقی: روشی است که در آن به کمک قوانین منطقی ریاضی از چند فرض درست، به نتیجه‌ای می‌رسیم که به‌اندازهٔ همان فرض‌های درست، حتمی و مسلم است.

مثال ۱. تابع f در بازه [۲,۲-] پیوسته است و داریم f(2)=-2 , f(-2)=-5 در این صورت نمودار تابع f در بازه [۲,۲-]:
۱) محور x ها را قطع نمی‌کند
۲) محور x ها را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.
۳) محور x ها را حداقل در یک نقطه قطع می‌کند.
۴) محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند.

مثال ۲. هرگاه (f(x تابعی باشد که  آنگاه حد تابع  وقتی x→۰ کدام است؟

مثال ۳. درباره دنباله کدام گزینه صحیح است.

۱) به صفر همگراست

۲) به ۱ همگراست

۳) واگراست

۴) به ازای بعضی مقادیر n دنباله تعریف‌نشده است.

مثال ۴. گزاره نمای  به ازای کدام دو سور برقرار است.

مثال ۵. در ۶۲۲۷۰۲۰۸۰۰=۱×۲×…×۱۲×۱۳=!۱۳، !۱۳ شامل دو صفر پشت سر هم است. چه تعداد صفر پشت سر هم در!۱۰۰۰ قرار می‌گیرند؟

مثال ۶. داریم . ثابت کنید که حاصل‌ضرب چهار عدد صحیح پشت سر هم همیشه از مربع کامل یکی کمتر است.

در مثال۷ دانش آموز باید سه نوع استدلال شهودی، تمثیلی، استنتاجی را بکار گیرد تا به حل مؤفق مسئله دست یابد.

مثال۷. با استفاده از مشخصه های زیر تابع (f(x را ترسیم کنید.

به سؤالات همچون مثال فوق سؤالات کران‌باز گفته می‌شود.

کمک به رشد استدلال:
با توجه به اهمیتی که استدلال در شیوه اندیشیدن افراد دارد، لازم است با استفاده از راهبردهایی به رشد استدلال کودکان و نوجوانان کمک شود:
مسائلی که به کودکان داده می‌شود متناسب با سطح رشد آن‌ها باشد.

به آن‌ها کمک شود که درباره موضوعاتی که فکر می‌کنند با مفاهیم و تصورات روشن و آشنایی سروکار پیدا کنند.
دوری کردن از توضیح و نشان دادن راه‌حل زیاد، باید به آن‌ها اجازه داد تا خود در فرایند حل مسئله درگیر شوند و فقط در صورت احساس درماندگی و ناتوانی نهایی به آن‌ها کمک شود.

نتیجه‌گیری آن‌ها را با روش سقراطی موردبررسی قرار دهید تا علت دقیق اشتباه آن‌ها معلوم شود.

از آن‌ها بخواهید (زمانی که در بحث‌های گروهی هستند) نتایج خود را با دیگران مقایسه کنند.

به آن‌ها آموزش داده شود از تأثیر هیجانات و تعصبات خود درروند استدلال و نتیجه‌گیری جلوگیری نمایند.

مثال. حاصل جمع هر دو زاویه مسطحه تشکیل یافته از یال‌ها یک زاویه سه وجهی بزرگ‌تر از زاویه مسطحه سوم است. واضح است این قضیه به تصدیق این مطلب منجر می‌شود که در یک مثلث کروی مجموع هر دو ضلع بزرگ‌تر از ضلع سوم است.

با توجه به این گفته طبیعتاً به فکر شباهت موجود میان مثلث کروی و مثلث مسطح می‌افتیم. ولی آیا با این نکات یک دلیل به وجود می‌آید؟ به‌هیچ‌وجه. ولی به ما کمک می‌کنند که قضیه طرح‌شده را بفهمیم و آن‌ها به خاطر بسپاریم.

این نوع دلیل آوردن، یک دلیل غیر کامل گفته می‌شود که بعضی از تجربه‌های حاصل از حل کردن مسائل نشان می‌دهد که اولین اندیشه یک اثبات، غالباً بسیار غیر کامل و ناتمام است. ولی جزئیات باید بعداً به دست آید. چنین دلیلی باآنکه ناتمام است ممکن است آموزنده‌تر از دلیلی باشد که با جزئیات کامل بیان‌شده است.

اگه سوالی در رابطه با این مقاله دارید کافیه تا در قسمت دیدگاه های این مطلب بیان کنید تا توسط کارشناسان ما به زودی پاسخ داده شود.