توانمندی در مهارت‌های حل مسئله ریاضی

امتیاز 5.00 ( 1 رای )

چگونه یک حل کننده ماهر در مسائل ریاضی باشم؟

یک حل کننده مؤفق در حل مسئله ریاضی چه ویژگی‌هایی باید داشته باشد و به هنگام حل مسئله چه رفتارهایی از خود بروز می‌دهد؟ آیا باور هر فرد در نحوه حل مسئله او تأثیرگذار است؟ فرایند حل مسئله برای یک حل کننده ماهر چگونه است؟

درک حقایق و مطالب ریاضی مهم است اما کافی نیست. شما باید یاد بگیرید که چگونه از این حقایق برای توسعه مهارت تفکر و حل مسائل خود استفاده کنید. در این مقاله می‌خواهیم بدانیم که چگونه حل مسئله ریاضی می‌تواند به شما کمک کند تا :

  1. توانایی عمومی خود را برای حل مسائل زندگی واقعی توسعه و بهبود دهید
  2. مهارت‌های تفکر انتقادی و استدلال را رشد دهید
  3. درک عمیق‌تری از مفاهیم بدست آوردید
  4. در کار گروهی با یکدیگر تعامل و کمک داشته باشید

 

 

فرایند حل مسئله

فرایند حل مسئله

اکثر کتاب‌های درسی ریاضی چند نمونه از مسائل را به عنوان مثال با راه حل‌های دقیق نشان می‌دهند و سپس مسائل مشابه را به عنوان تمرین ارائه می‌دهند. اگر شما فقط مسائل روتین و تکراری را حل کنید یادگیری‌تان محدود می‌شود. برای ایجاد فرصت‌های یادگیری واقعی، مسائل مورد استفاده باید از نوع چالش برانگیز باشد و نه فقط مسائلی که قبلاً در گذشته حل شده‌اند.

حل مسئله ریاضی فرایندی است که به مراحل مختلف وابسته است. چهار مرحله اصلی در حل مسئله ریاضی وجود دارد.

  1. فهمیدن مسئله
  2. طراحی کردن راهبرد
  3. انجام دادن راهبرد
  4. به عقب نگاه کن

 

فرم خطی حل مسئله

شکل ۱. فرم خطی حل مسئله

 

با این حال این فرآیند خطی ممکن است هنگام حل مسأله غیرروتین و چالش برانگیز کافی نباشد. امکان دارد که ما مرحله سوم، یعنی اجرای دادن راهبرد، را انجام دهیم اما به پاسخ نرسیم و حتی طرح کارایی نداشته باشد. بنابراین لازم است به طور انتقادی، روی فرمول‌بندی مسئله و همچنین اطلاعاتی که در این مسئله ارائه شده است، بازبینی کنیم. یادگیرنده باید درک کند که در حل مسئله او نیاز به بازنگری و بررسی کامل مسئله در هر مرحله از حل مسئله را دارد و در صورت لزوم باید برای شروع مجدد آماده باشد.

پرکاربردترین راهبردها در حل مسئله شامل حدس و بررسی، ترسیم شکل، ساختن فهرست، ساختن جدول، عمل بازگشتی، جستجوی الگو، استدلال منطقی، ساده سازی مسئله، نوشتن معادله.

شکل زیر مهم‌ترین مهارت‌ها و عوامل لازم برای حل مسئله‌ی مؤفق را نشان می‌دهد. مسائل روتین ممکن است به تمام مهارت‌های ذکر شده در زیر نیاز نداشته باشند؛ با این حال مسائل چالش برانگیز نیاز به یک استراتژی دارد که بیشتر و یا حتی تمام مهارت‌ها و نگرش‌های نشان داده شده در شکل ۲ را شامل می‌شود.

 

فرم غیر خطی حل مسئله

شکل۲. فرم غیر خطی حل مسئله

مهارت‌ها در حل مسئله

مهارت‌های ریاضیات پایه، مانند حل معادلات و نامساوی‌ها برای حل مسئله ریاضی ضروری است. فرموله کردن یک مسئله می‌تواند بسیار چالشی باشد، امّا بعنوان مثال ساده‌سازی و حل معادله‌ی به دست آمده، برای رسیدن به جواب سؤال ضروری است. وقتی شما نتوانید عبارات جبری را با مهارت انجام دهید، قطعاً مشکلاتی در حل مسئله خواهید داشت.

اولین گام در حل مسئله درک و استخراج اطلاعات از متن مسئله است و تا مسئله درک نشود شما نمی‌توانید پیشرفت کنید.

شما در حل مسائلی که مفاهیم آن را که به طور کامل درک نکرده‌اید، مؤفق نمی‌شوید. در واقع برخی از مفاهیم به طور کامل درک نمی‌شوند مگر اینکه در حل مسائل یا فعالیت‌های دیگری که شامل تفکر انتقادی و استدلال است، مورد استفاده قرار گیرند.

 

 

تفکر و استدلال در حل مسئله

تفکر انتقادی در تمام مراحل حل مسئله مورد نیاز است. بعضی از دانش‌آموزان پس از حل مسئله، نگاه انتقادانه بر راه‌حل مسئله نمی‌کنند. آنها تمایل دارند جوابی را که به دست آورده‌اند، بپذیرند. تفکر انتقادی هنگام استخراج اطلاعات از متن مسئله، فرموله کردن و حل مسئله و نیز تجزیه و تحلیل راه حلِ به دست آمده، مورد نیاز است. من اکنون یک نمونه از مسئله‌ای را ارائه می‌دهم که شما فرصت بکارگیری تفکر انتقادی در حین حل مسئله را داشته باشید.

مسئله ۱: دو قایق مقابل هم، لب یک رودخانه به سمت هم شروع به حرکت می‌کنند. آنها دفعه اول که از کنار هم می‌گذرند ۱۴۰۰ متر از  یک ساحل فاصله دارند. هر یک از آنها به سمت ساحل مخالف ادامه می‌دهند، دور می‌زنند و دوباره به سمت ساحل دیگر می‌روند. هنگامی که آنها برای بار دوم همدیگر را رد می‌کنند، فاصله‌شان از ساحل دیگر ۶۰۰ متر است. ما فرض می‌کنیم که هر قایق در طول سفر با سرعت ثابت حرکت می‌کند. آیا می‌توان عرض رودخانه را با استفاده از اطلاعات داده شده پیدا کرد؟

 

 

برای درک و استخراج اطلاعات و معلومات مسئله، نموداری بکشید و معادلات را برای فرمول‌بندی مسئله بنویسید.

t = 0 قرار دهید، زمانی که دو قایق شروع به حرکت می‌کنند. فرض کنید S1 و S2 سرعت ثابت دو قایق و t1 زمانی که آنها برای اولین بار از یکدیگر عبور می کنند و t2 زمانی که آنها برای دومین بار از کنار هم می‌گذرند.  X را عرض رودخانه فرض کنید.

بازسازی مسئله

بازسازی مسئله

 

از طریق زمان و تلاشی که برای یافتن یک راه حل صرف می‌شود، یادگیری بدست می‌آید.

توجه داشته باشید که  صورت سؤال مسئله ۶ نمی گوید “عرض رودخانه را پیدا کنید” اما می‌گوید “آیا می توان عرض رودخانه را با استفاده از اطلاعات داده شده پیدا کرد؟” یک سؤال از نوع “پیدا کردن عرض رودخانه” یعنی فرض می‌کند که می‌توان عرض X را پیدا کرد. با این حال سؤالات از نوع دوم سخت‌تر‌اند و بنابراین برای توسعه مهارت‌های تفکر مناسب‌ هستند.

مسائل کران باز معمولاً دارای جواب‌های درست متعددند، این مسائل ابزاری مفیدند که شما برای رسیدن به راه‌حل، نیازمند قدرت تفکر می‌باشید. من اکنون یک نمونه از یک مسئله کران باز ارائه می‌دهم.

مسائل کران باز

 

مسئله ۲:  مجموعه‌ای از نقاط داده‌ها که در شرایط زیر صدق ‌کند را بسازید:
• مجموعه شامل ۸ مقدار داده است.
• دامنه مجموعه داده‌ها ۲۰ است.
• میانه با میانگین برابر است.
نشان ‌دهید که مجموعه داده‌های شما در شرایط فوق صادق است.

 

شما برای حل مسائل چالشی باید روی مراحل حل خود کنترل و فکر کنید. تصور می‌شود که بهترین راه آن است که شما باید توانایی خودآگاهی از تفکرتان را بدست آورید، شما باید بتوانید روش تفکرتان را به صراحت برای خود و دیگران توضیح دهید. این مهارت فراشناخت نام دارد، یعنی آگاهی شما از دانسته‌هایتان و کنترل روی آنها.

فراشناخت

 

به عنوان مثال، مسئله زیر را با هم نگاه کنیم.

مسئله ۳: احمد با سرعت ثابت ۶ کیلومتر در ساعت در امتداد یک خط مستقیم از A به B در حرکت است، و سپس دور می‌زند و در همان خط از B به A با سرعت ثابت ۴ کیلومتر در ساعت حرکت می‌کند. سرعت متوسط ​​کل حرکت او چقدر است؟  (تعریف: میانگین سرعت = کل فاصله / کل زمان)

مهارت‌های فراشناختی به شما کمک می‌کند که هم پرسش و هم راه حل را تحلیل کنید. این مهارت‌ها همچنین به شما کمک می‌کند تا در صورت بروز مشکل به عقب برگردید و در صورت لزوم بازنگری کنید.

تنها مسائل غیر روتین ریاضی که قبلاً حل نکرده‌اید، به توسعه مهارت‌های فراشناختی شما کمک می‌کند.

 

طرح سؤالات هدایت کننده

سه مرحله مهم به هنگام حل مسئله که باید بدانیم:

مرحله اول: قبل از شروع به حل یک مسئله مشخص، شما می­‌توانید این سؤال­‌ها را از خود بپرسید:

  • کدام دانش قبلی، می­‌تواند در مورد این تکلیف خاص مرا یاری دهد؟
  • برای اینکه این تکالیف را با موفقیت به انجام برسانم، به دانستن چه چیزی نیاز دارم؟
  • چه کاری را باید انجام دهم و یا چه ترتیبی؟
  • برای کامل کردن این تکلیف، چه قدر وقت دارم؟

پاسخ به این سؤال­‌ها، می‌­تواند شما را در انجام مراحل حل مسئله هدایت کرده و در ایجاد توانایی فراخوانی دانش قبلی و در نتیجه، تصمیم­‌گیری مناسب کمک کند.

 

مرحله دوم: نظارت بر نقشه فعالیت، می­‌تواند شما را در طول فعالیت شناختی، کمک کند. مسیر رسیدن به جواب مسئله و تفکر دربارۀ آن، از طریق سؤال­‌هایی مانند آن چه که در زیر آمده، انجام می‌­شود:

  • چگونه انجامش دهم؟
  • آیا در مسیر درستی قرار دارم؟
  • چگونه باید ادامه دهم؟
  • چه اطلاعاتی برای به خاطر آوردن و به یادآوری، مهم هستند؟
  • آیا باید از راه دیگری حرکت کنم؟
  • برای درک مسئله نیازمند انجام دادن چه کاری هستم؟

 

مرحله سوم: بعد از پایان یک تکلیف شناختی، شما باید عملکرد و درجه فهم خود را ارزیابی کنید و آن را با تکلیف قبلی، مقایسه کنید. مثال­‌هایی از سؤال­‌های مناسب برای طرح در این مرحله، به قرار زیرند:

  • آیا روند خاص تفکر من، کمتر یا بیشتر از آنچه که انتظار دارم، نتیجه می­‌دهد؟
  • چه چیزی را بطور متفاوت، می­‌توانم انجام دهم؟
  • چگونه می­‌توانم این روش تفکر را برای مسائل نیز، بکار ببرم؟
  • آیا در طول تکلیف، برای پرکردن خلأهای احتمالی در فهم و درک خود از مسئله، نیاز به بازنگری دارم؟

 

 

تأثیر باورهای شخصی در حل مسئله

باورشخصی

شما باید در حل یک مسئله ثابت قدم و ریسک پذیر باشید، و همچنین باید بدانید در مسائلی که حتی قادر به حل آن نیستید ولی برای حل آن تلاش دارید، یادگیری رخ می‌دهد. یادگیری در حل مسائل آسان اتفاق نمی‌افتد، بلکه بیشترین یادگیری در مسائل چالش برانگیز که برای حل آن نیاز به پیشتکار دارید، رخ می‌دهد.

وقتی شخصی در حل مسئله ریاضی دارای انگیزه درونی باشد، این شخص رفتارهای مطلوب آموزشی از خود نشان می­‌د‌هد از قبیل صرف زمان زیاد روی مسئله، مقاومت از در مواجهه با شکست، پردازش دقیق مسئله، نظارت بر کل فرایند، انتخاب امور سخت، خلاقیت بیشتر و مخاطره پذیری، انتخاب عملکرد کاراتر و عمیق تر، انتخاب عمل و… این گونه رفتارهای مطلوب از درون خود فرد نشأت می‌گیرد.

مجموعه احساسات، نگرش­‌ها و علائق شخص یک عامل مهم در شکل­‌گیری رفتار حل مسئله می­‌باشد. انگیزه، علاقه، اعتماد، سخت کوشی، مخاطره پذیری، تحمل ابهام همه روی عملکرد حل مسئله تأثیر می­‌گذارند.

حل­‌کننده‌های ضعیف مسئله معمولاً به راهبردهای آسان از قبیل عدد­گذاری در عملیات­‌ها یا حدس و گمان در عملیات­‌ها متوسل می­‌شوند. این راهبردهای آسان برای اجرا، نشانه‌ای از ادراک ابزاری در حل مسئله ریاضی مربوطه می­‌باشد.

باور برخی دانش‌­آموزان بر این است که مؤفقیت یعنی دستیابی سریع به جواب و به همین دلیل آنها تمایل به صرف زمان در فرایند حل مسئله ندارند.

باورهای شخصی نیز در عملکرد حل مسئله فرد مؤثر می‌­باشد. که منظور از باورها در اینجا دانش ذهنی شخص از خود و ریاضیات و موضوع مطرح شده می‌­باشد. باورها بر روی تصمیم­‌گیری‌ها در طول فرایند حل مسئله تأثیر دارند. برای مثال اگر باور شخص بر این باشد که همه‌­ی مسائل از طریق توجه به جملات کلیدی مسئله قابل حل است به احتمال فراوان این شخص برای مسائلی که دارای کلمات کلیدی گمراه کننده است جواب غلطی بدست خواهد آورد. بطور مشابه اگر دانش­‌آموز باور داشته باشد که ریاضیات فقط شامل اعداد و عملیات­‌هاست، او به دنبال بازی و دستکاری(البته بدون تفکر) با اعداد مسئله خواهد بود.

 

 

کار گروهی و حل مسئله

تجربه نشان می‌دهد که به طور کلی کار گروهی در حل مسائل مفید است. هنگامی که مسئله‌ای چالش برانگیز به دانش‌آموزان داده می‌شود، آنها برای کار در گروه‌ها راضی‌ترند. در واقع نشان داده شده است که یادگیری مشارکتی و فعالیت‌های فراشناختی تأثیر مثبتی بر توانایی دانش‌آموزان برای حل مسائل دارند. با دوستان و همکلاسی‌هایتان در گروه‌های کاری به حل مسائل چالش برانگیز بپردازید و روند فکری خودتان را برای هم توضیح دهید.

 

 

ویژگی‌های حل کننده­‌های تازه­‌کار و ماهر

برانسفورد می­‌گوید ویژگی­‌های وجود دارد که یک حل کننده ماهر را از یک حل کننده تازه کار متمایز می­‌کند:

در ارتباط با عامل یادگیری مفاهیم و بکارگیری از آن، حل کننده ماهر الگوهای مسئله را تشخیص می­‌دهد که حل­‌کننده تازه کار قادر نیست، همچنین حل کننده تازه کار بیشتر روی صورت ظاهری مسئله تمرکز می­‌کند.

در ارتباط با عامل کنترل، فرد تازه کار به دنبال دستکاری اعداد یک مسئله است، که این روش یک جریان متداول در میان دانش­‌آموزان ضعیف در حل مسئله است، در واقع این گونه دانش­‌آموزان اعداد را تشخیص می دهند و با آنها بازی می­‌کنند، عملیات­‌های مختلفی را آزمایش می­‌کنند، در جستجوی کلمات کلیدی هستند، مسئله را با سرعت و کنجکاوی می­‌خواند، به متن مسئله چندان توجهی ندارند، منطقی بودن جواب­‌ها را ارزیابی نمی­‌کنند، اگر روش حل اول آنها به جواب نرسد پایداری نشان نمی­‌دهند، روی راهبردهای مختلف حل مسئله وقت نمی‌گذارند، مگر آنکه راهبردهای معروف و شناخته شده باشند.

همه‌ی موارد بالا نشان می‌دهد که آنها نسبت به رفتار خود در حل مسئله خودشناسی ندارند.

در مقابل، یک حل کننده ماهر نظارت فعال روی فرایند حل مسئله دارد، تصمیم می­‌گیرد که چه مسیری را کاوش کند یا چه مسیری را ادامه ندهد. روش­‌ها و راهبردها را تغییر می‌­دهد و دنبال می­‌کند. او همواره فرایند فراشناخت را در خود تقویت می‌کند.( سلدون، ۱۹۹۷)

 

حل کننده ماهر حل مسئله

 

حل کننده خوب معمولاً با کنجکاوی و چالش به دنبال رسیدن به جواب است و در صورتی که نتیجه نرسد، تسلیم آن نخواهد شد. از دیگر تفاوتهای این دو گونه دانش­‌آموزان این است که حل کننده ماهر تمایل به فهم مسئله و می‌خواهند از طریق مفاهیم اصلی این فهم را گسترش دهند.است بعد از آن او  برای رسیدن به جواب تلاش می­‌کند.(برانسفورد، ۱۹۹۹)

اما فرد تازه کار فوراً به دنبال جواب می­‌رود، تعیین می­‌کند که چه روش‌هایی به او در رسیدن به پاسخ کمک می کند. تازه کارها به صورت منفعلانه عمل می­‌کنند و به راحتی با یک مشکل یا امر نامربوط ناامید می­‌شود، دست از تلاش برمی­‌دارد.

 

 

نتیجه گیری :

اولین قدم در حل مسئله ریاضی فهم صورت سؤال و شناسایی درست معلومات و مجهولات مسئله می‌باشد. وقتی شما روی مسائلی با درجه سختی کم، شروع به تمرین می‌کنید، هرچند باعث می‌شود که اعتماد به نفس‌تان بالا رود اما مسائل باید متنوع و سخت‌تر باشند، زیرا تنها با حل مسائل غیر روتین و چالش برانگیز همچون مسائل کران‌باز شما می‌توانید زمینه تقویت مهارت‌های مختلف را در خود ایجاد نمایید. شما باید بدانید که حتی زمانی که هیچ راهی برای حل مسئله به دست نمی‌آید، یادگیری رخ می‌دهد. این زمان و تلاشی که شما برای حل مسئله صرف کرده‌اید به فرایند یادگیری کمک می‌کند.