۱. معرفی

حل مسئله ریاضی مربوط به شمارش و معاملات تجاری روزانه، از اولین روزهای تجربه انسان به دست آمده است. هندسه نیز به طور گسترده‌ای در اندازه‌گیری زمین بکار برده می‌شد. در حال حاضر ریاضیات به منظور ارزیابی عددی و فاصله‌ای (فضایی) طبیعی ونیز موقعیت‌های مصنوعی بکار می‌رود.

با ظهور فناوری رایانه، این امر به پیشرفت‌های اجتماعی، اقتصادی و تکنولوژیکی کمک کرده است که چند دهه قبل غیر قابل تصور بود. این فناوری برای حل مسائل نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

درک حقایق و مطالب ریاضی مهم است اما کافی نیست. دانش‌آموزان باید یاد بگیرند که چگونه از این حقایق برای توسعه مهارت تفکر و حل مسائل خود استفاده کنند. مربیان ریاضی این ایده را پذیرفته‌اند که توسعه توانایی حل مسئله نیازمند توجه خاص است و یکی از مهم‌ترین مؤلفه‌ها در هر برنامه درسی یا برنامه ریاضی، حل مسئله غیر روتین ریاضی است. اگر تدریس حل مسئله به خوبی ارائه شود، حل مسئله ریاضی ممکن است به دانش‌آموزان کمک کند که:

۱. توانایی عمومی خود را برای حل مسائل زندگی واقعی توسعه و بهبود دهند

۲. مهارت‌های تفکر انتقادی و استدلال را رشد دهند

۳. درک عمیق‌تری از مفاهیم بدست آوردند

۴. در کار گروهی با یکدیگر تعامل و کمک داشته باشند

اکثر کتاب‌های درسی کتاب ریاضی چند نمونه از مسائل را به عنوان مثال با راه حل‌های دقیق نشان می‌دهند و سپس مسائل مشابه را به عنوان تمرین ارائه می‌دهند. اگر دانش‌آموزان فقط مسائل روتین و تکراری را حل کنند یادگیری آنها محدود می‌شود.

مسائل مورد استفاده برای ایجاد فرصت‌های یادگیری واقعی، باید از نوع چالش برانگیز باشد و نه فقط مسائلی که قبلاً در گذشته حل شده‌اند.

حل مسئله ریاضی یک فرآیند است که شامل مجموعه‌ای از عوامل و تکالیف برای دستیابی به یک هدف مشخص است و چون به عوامل ومهارت‌های زیادی وابسته است، هم در امر یادگیری و هم آموزش نوعی چالش بشمار می‌آید.

اگر درک معلم از این فرایند محدود شود، مشکلاتی در تدریس حل مسائل ریاضی بوجود می‌آید. از این رو اگر ما می‌خواهیم به دانش‌آموزان خود کمک کنیم که این فرایند مهم را بدست آورند، باید این عوامل و مهارت‌ها را بخوبی بشناسیم و درک کنیم.

در این مقاله، ما به مسائل و نگرانی‌های مربوط به حل مسئله ریاضی می‌پردازیم. با این حال، بسیاری از آنچه که در این مقاله گفته می‌شود، می‌تواند برای حل هر گونه مسئله کمّی از قبیل فیزیک، شیمی، تجارت و مهندسی مورد استفاده قرار گیرد. اغلب دانش‌آموزان و دانشجویان مشکلاتی در حل مسئله ریاضی دارند و ما باید از آن آگاهی داشته باشیم.

من معتقدم که اگر ما بخواهیم آموزشِ تدریسِ حل مسئله کمّی را بهبود ببخشیم باید موضوع «نگرانی‌ها و مشکلات در حل مسئله» را مورد بحث قرار دهیم، چرا که این ارتقا در حل مسئله، مهارت‌های تفکر دانش‌آموزان و توانایی‌های حل مسائل آنها را بهبود می‌بخشد. هدف ما در اینجا این است که برخی از این مشکلات را بازگو کنیم. پیشنهاداتی در مورد چگونگی تسهیل بعضی از جنبه‌های حل مسئله ریاضی، همانگونه که من در کلاسم آنها را بکار می‌بردم، ارائه می‌شود.

۲. حل مسائل ریاضی به عنوان یک فرایند

حل مسئله ریاضی فرایندی است که به مراحل مختلف وابسته است. چهار مرحله اصلی در حل مسئله ریاضی وجود دارد.

۱. فهمیدن مسئله

۲. طراحی کردن برنامه

۳. انجام دادن طرح (برنامه)

۴. به عقب نگاه کن

در حل مسئله روتین یا مشابه با مسائلی که درگذشته حل شده است، ما مطمئناً یک فرآیند خطی را دنبال خواهیم کرد که در شکل ۱ نشان داده شده است. اصطلاح خطی به معنای آن است که یادگیرنده از یک مرحله‌به‌مرحله بعدی می‌رود تا مسئله حل شود.

شکل ۱: چهار مرحله در حل مسئله ریاضی (مدل خطی) 

با این حال این فرآیند خطی ممکن است هنگام حل مسئله غیر روتین و چالش‌برانگیز کافی نباشد. امکان دارد که ما مرحله سوم، یعنی اجرای طرح مدنظر را انجام دهیم اما به پاسخ نرسیم و حتی طرح کارایی نداشته باشد. بنابراین لازم است به‌طور انتقادی، روی فرمول‌بندی مسئله و همچنین اطلاعاتی که در این مسئله ارائه شده است، بازبینی کنیم.

یک مدل عملی‌تر از این فرایند در شکل ۲ نشان داده شده است. یادگیرنده باید درک کند که در حل مسئله او نیاز به بازنگری و بررسی کامل مسئله در هر مرحله از حل مسئله را دارد و در صورت لزوم باید برای شروع مجدد آماده باشد.

شکل ۲: چهار مرحله و بازنگری در هر مرحله به مسئله. (مدل عملیات بیشتر)

یکی از مشکلات در حل مسئله این واقعیت است که برای حل مسئله داده شده چندین مرحله لازم است. همچنین در هر مرحله دانش‌آموزان باید از مهارت‌های مختلف استفاده کنند. میزان تسلط دانش‌آموزان‌ بر این عوامل و مهارت‌‌ها است که نتیجه فرایند را تعیین می‌کند.

شکل ۳: عوامل و مهارت‌های درگیر در حل مسائل

من بر اساس تجربیات خودم و تجربه‌های دیگران، صحبت خواهم کرد و راه‌هایی را ارائه خواهم داد تا دست‌یابی به عوامل مؤثر بر عملکرد حل مسئله دانش‌آموزان آسان شود.

کمک کردن و هدایت نمودن دانش‌آموزان یکی از کارآمدترین روش‌ها برای «آموزش» حل مسئله است. کمک مناسب، یعنی خلق فرصت‌هایی که دانش‌آموزان با انجام دادن، یاد بگیرند. حل مسائل ریاضی یک فرایند سازنده است که دانش‌آموزان یاد می‌گیرند با ایجاد ارتباط با آنچه قبلاً می‌دانستند، مسائل را حل کنند. معلمان می‌توانند دانش‌آموزان را برای ارتباط سازی مفاهیم هدایت کنند.

مرحله اول: ابتدا مفهوم سرعت کار ارائه و مطرح شد. سپس کل کلاس در مورد راه‌حل مسئله ۱ بحث کردند.

مسئله ۱: کامران و شاهین چمن‌های پارک را می‌زنند، چمن زدن کامران ۱‌ ساعت بیشتر از شاهین طول می‌کشد. اگر آن‌ها بتوانند در عرض ۵ ساعت با هم کار کنند، چه مدت طول می‌کشد تا هر یک به تنهایی چمن‌ها را بزنند؟

مرحله ۲: پس‌ازآن از دانش‌آموزان خواسته شد که مسئله زیر را به‌عنوان یک تمرین در منزل حل کنند که در آن همان مفهوم مسئله ۱ مورد نیاز است.

مسئله ۲: جواد ۵۰ کیلو سیب را ۳ ساعت دیرتر از احمد پوست می‌کند. اگر با هم کار کنند، آن‌ها می‌توانند ۵۰ کیلو سیب را در ۸ ساعت پوست بگیرند، پس چه مدت طول می‌کشد تا هر یک از آن‌ها به‌ تنهایی کار کنند؟

اگرچه این مسئله در کلاس قبل از تلاش برای حل آن، مورد بحث قرار گرفت تا مطمئن شوم که دانش‌آموزان مفهوم را درک کرده‌اند، اما آن‌ها در حل آن مشکل داشتند. من تصمیم گرفتم که مفهوم سرعت کار را دوباره مورد بحث قرار دهم. چند روز پس‌ازآن، تعداد کمی از دانش‌آموزان مؤفق به حل مسئله داده شده، شدند و راه‌حل مسئله ۲ با کل کلاس مورد بحث قرار گرفت.

مرحله ۳: برای ارزیابی درک دانش‌آموزان از مفهوم سرعت کار و روند حل مسئله، مسئله بعدی به‌عنوان یک تمرین در منزل مطرح شد.

مسئله ۳: برای خالی کردن یک استخر، پمپ A 2 ساعت کمتر از پمپ B زمان می‌برد. پمپ A در ساعت ۸:۰۰ صبح شروع شده است و پمپ B در ساعت ۱۱:۰۰ شروع می‌شود. اگر استخر در ساعت ۵:۰۰ بعدازظهر هنوز نیمه‌پر باشد، چه مدت طول می‌کشد تا پمپ A به تنهایی کار کند؟

مسئله ۳ همچنین نیاز به درک عمیق از مفهوم سرعت کار است. به‌جز تعدادی از دانش‌آموزان، اغلب مسئله برایشان بسیار چالش‌برانگیز بود و نمی‌توانستند آن را حل کنند. من به دقت راه‌حل‌هایی که توسط دانش آموزان نوشته شده بود را مورد بررسی قرار دادم و متوجه شدم که مفهوم سرعت کار مشکل اصلی آن‌هاست.

من تصمیم گرفتم یک درس کامل در مورد سرعت کار با مثال‌های بسیاری بدهم و مطمئن شدم که نه تنها آن‌ها مفهوم را درک کردند بلکه چگونگی استفاده از آن برای فرمول‌بندی مسائل را نیز فهمیدند. من از آن‌ها خواستم دوباره مسئله را بررسی کنند. چند روز بعد، بیش از نیمی از کلاس، مسئله ۳ را درست حل کردند.

مرحله چهارم: پس‌ازآن من مسئله زیر را به‌عنوان یک امتحان به دانش‌آموزان واگذار کردم.

مسئله ۴: برای پر کردن استخری پمپ B، ۲ ساعت بیشتر از پمپ A زمان می‌برد. هر دو پمپ در ساعت ۷ صبح روشن می‌شوند. در ساعت ۱۰ صبح پمپ A خراب می‌شود و تعمیر آن ۱ ساعت طول می‌کشد تا دوباره راه‌اندازی شود. در ساعت ۳ بعدازظهر ۸۰ درصد از استخر با آب پر شده است. چه مدت طول می‌کشد هر پمپ به تنهایی برای پر کردن استخر کار کنند؟

حدود نیمی از کلاس، مسئله را درست حل می‌کنند و یک‌چهارم از کلاس با اشتباهات جزئی حل را انجام دادند. من به دقت راه‌حل‌های انجام شده توسط دانش‌آموزان را موردبررسی قرار دادم و معلوم شد که دانش‌آموزان درک درستی از مفهوم سرعت کار داشتند و مهم‌تر از همه می‌دانستند چگونه می‌توان از آن برای حل مسائل استفاده کرد.

دانش‌آموزان در حل مسائلی که مفاهیم آن را به‌طور کامل درک نکرده‌اند مؤفق نمی‌شوند. علاوه بر این، مسائل ریاضی را می‌توان به‌عنوان روش‌های تدریس بکار برد، نه‌تنها برای معرفی مفاهیم به دانش‌آموزان بلکه برای کمکی به آن‌ها تا درک عمیق‌تری از مفاهیم بدست آورند. درواقع برخی از مفاهیم به‌طور کامل درک نمی‌شوند مگر اینکه در حل مسائل یا فعالیت‌های دیگری که شامل تفکر انتقادی و استدلال است، مورد استفاده قرار گیرند.

حل مسئله ریاضی نیز ممکن است برای معرفی یک مفهوم جدید استفاده شود. یک مثال از یک مسئله ریاضی که ممکن است برای معرفی یک مفهوم جدید استفاده شود، ارائه شده است.

مسئله ۵: جمعیت فعلی امارات ۴.۵ میلیون نفر است. اگر ما فرض کنیم که جمعیت با نرخ سالانه ۳٪ برای ۱۵ سال آینده رشد دارد، اگر جمعیت امارات را با P نمایش دهیم، در سال t رابطه جمعیت چه خواهد بود؟ (فرض کنید t کمتر از ۱۵ باشد)

دانش‌آموزان به‌راحتی می‌توانند به استفاده از درصد هدایت شوند و نتایج زیر را ارائه دهند.
P (t) = 4.5 (1 + 3%)^t

در این مرحله مفهوم توابع نمایی به‌راحتی می‌تواند با استفاده از نتیجه به‌دست‌آمده معرفی شود. دانش‌آموزان درک می‌کنند که توابع نمایی ممکن است برای حل مسائل جمعیتی و ایجاد ارتباط بین یک مفهوم و کاربرد ممکن آن، استفاده شوند. تجربه نشان می‌دهد که دانش‌آموزان هنگام حل مسائل مربوط به زندگی روزمره خود انگیزه بیشتری دارند.

۳.۲ مهارت‌ها در حل مسئله 

مهارت‌های ریاضیات پایه، مانند حل معادلات و نامساوی‌ها برای حل مسئله ریاضی ضروری است. فرموله کردن یک مسئله می‌تواند بسیار چالشی باشد، امّا به‌عنوان‌مثال ساده‌سازی و حل معادله‌ی به‌دست‌آمده، برای رسیدن به جواب سؤال ضروری است. دانش‌آموزانی که نمی‌توانند عبارات جبری را با مهارت انجام دهند قطعاً مشکلاتی در حل مسئله دارند.

دانش‌آموزان ما در خواندنِ با درک و استخراج اطلاعات از متن مسئله، مشکل دارند. این مهارت باید به‌صراحت به دانش‌آموزانِ ما تدریس شود. این اولین گام در حل مسئله است و تا مسئله درک نشود دانش‌آموزان نمی‌توانند پیشرفت کنند.

۳.۳ تفکر و استدلال در حل مسئله

تفکر انتقادی در تمام مراحل حل مسئله مورد نیاز است. دانش‌آموزان پس از حل مسئله، نگاه انتقادانه بر راه‌حل مسئله نمی‌کنند. آن‌ها تمایل دارند جوابی را که به دست آورده‌اند، بپذیرند. تفکر انتقادی هنگام استخراج اطلاعات از متن مسئله، فرموله کردن و حل مسئله و نیز تجزیه و تحلیل راه‌حل به دست آمده، مورد نیاز است. من اکنون یک نمونه از مسئله‌ای را ارائه می‌دهم که دانش‌آموز فرصت بکارگیری تفکر انتقادی در حین حل مسئله را داشته باشد.

مسئله ۶: دو قایق مقابل هم لب یک رودخانه به سمت هم شروع به حرکت می‌کنند. آن‌ها دفعه اول که از کنار هم می‌گذرند ۱۴۰۰ متر از یک ساحل فاصله دارند. هر یک از آن‌ها به سمت ساحل مخالف ادامه می‌دهند، دور می‌زنند و دوباره به سمت ساحل دیگر می‌روند. هنگامی‌که آن‌ها برای بار دوم همدیگر را رد می‌کنند، فاصله‌شان از ساحل دیگر ۶۰۰ متر است. ما فرض می‌کنیم که هر قایق در طول سفر با سرعت ثابت حرکت می‌کند. آیا می‌توان عرض رودخانه را با استفاده از اطلاعات داده شده پیدا کرد؟

دانش‌آموزان را راهنمایی کردم که یک نمودار بکشند و معادلاتی برای فرمول کردن مسئله بنویسند.

t = 0 قرار دهید، زمانی که دو قایق شروع به حرکت می‌کنند. فرض کنید S1 و S2 سرعت ثابت دو قایق و t1 زمانی که آن‌ها برای اولین بار از یکدیگر عبور می‌کنند و t2 زمانی که آن‌ها برای دومین بار از کنار هم می‌گذرند.  X را عرض رودخانه فرض کنید.

شکل ۴: نمودار از مجهولات در مسئله ۶

ازآنجایی‌که معادلات فوق پنج مجهول و تنها چهار معادله دارد. دانش‌آموزان وسوسه می‌شوند که بگویند ممکن نیست X، عرض رودخانه را بتوان پیدا کرد. باید به دانش‌آموزان وقت کافی برای بحث در مورد چنین مسئله‌ی چالش‌برانگیزی داده شود.

باید به آن‌ها اجازه دهیم در گروه‌ها کار کنند و اگر دانش‌آموزان نتوانستند کار را در کلاس انجام دهند، مجاز به ادامه حل مسئله به‌عنوان تمرین در منزل باشند. برای دانش‌آموزان بی‌فایده است که راه‌حل را به آن‌ها داد، درحالی‌که وقت کافی برای تحقیق در مورد حل این نوع مسائل به آن‌ها داده نشود.

از طریق زمان و تلاشی که برای یافتن یک راه‌حل صرف می‌شود، یادگیری به دست می‌آید؛ حتی اگر برای پیدا کردن راه‌حل مشکلاتی وجود داشته باشد. مسائلی همچون مسئله ۶، هم در فهمیدن مسئله و نیز ارائه‌ی راه‌حل نیازمند تفکر بسیار زیادی است و اگر ما بخواهیم دانش آموزانِ ما مهارت‌های تفکر خود را به بالاترین سطح ممکن برسانند و حل‌کننده واقعی مسائل باشند، داشتن مهارت‌های تفکر الزامی است.

طراحی مسائلی که در آن دانش‌آموزان فعال باشند، مشکل نیست. فقط باید از طرح سؤالات با راه‌حل واضح اجتناب کرد. توجه داشته باشید که صورت سؤال مسئله ۶ نمی‌گوید «عرض رودخانه را پیدا کنید» اما می‌گوید “آیا می‌توان عرض رودخانه را با استفاده از اطلاعات داده شده پیدا کرد؟” یک سؤال از نوع”پیدا کردن عرض رودخانه” یعنی فرض می‌کند که می‌توان عرض X را پیدا کرد. بااین‌حال سؤالات از نوع دوم سخت‌ترند و بنابراین برای توسعه مهارت‌های تفکر مناسب‌ هستند.

مسائل کران باز معمولاً دارای جواب‌های درست متعددند، این مسائل ابزاری مفیدند که دانش‌آموزان برای رسیدن به راه‌حل، نیازمند قدرت تفکر می‌باشند. همچنین می‌توان برای مقایسه تمام پاسخ‌های درست به‌دست‌آمده توسط دانش‌آموزان، بحث‌های مفیدی ایجاد کرد. من اکنون یک نمونه از یک مسئله کران باز ارائه می‌دهم.

مسئله ۷:  مجموعه‌ای از نقاط داده‌ها که در شرایط زیر صدق ‌کند را بسازید:
• مجموعه شامل ۸ مقدار داده است.
• دامنه مجموعه داده‌ها ۲۰ است.
• میانه با میانگین برابر است.
نشان ‌دهید که مجموعه داده‌های شما در شرایط فوق صادق است.

به‌طورکلی استدلال منطقی برای مؤفقیت در ریاضیات و بخصوص در حل مسئله ضروری است. استدلال استنتاجی برای درک و تشخیص الگوها و همچنین در ایجاد ارتباط بین موضوعات ریاضی استفاده می‌شود. استدلال استقرایی از تعاریف ریاضی، عبارات، قواعد و قضیه‌ها برای نتیجه‌گیری استفاده می‌کند.

استدلال استقرایی برای تفکر انتقادی اساسی است. مسائل هندسی ممکن است به‌عنوان ابزار توسعه استدلال استقرایی استفاده شود. من معتقدم که هر دو استدلال باید به‌طور صریح با دانش‌آموزان بحث و مورد استفاده قرار گیرد.

نتیجه‌گیری

بسیاری از مهارت‌ها و عوامل در هنگام حل مسائل واقعی و غیر روتین ریاضی درگیر می‌شوند. معلمان باید با این عوامل و مهارت‌ها آشنا شوند و فعالیت‌های خود را به‌گونه‌ای طراحی کنند که دانش‌آموزان را در توسعه و استفاده از این مهارت‌ها راهنمایی کنند؛ حتی اگر مسائلی را طراحی کنند که بر تعداد محدودی از مهارت‌ها و عوامل تمرکز کند.